Colados

Estad´ıstica II
Tema 4. Regresi´on lineal simple

Curso 2010/11

Tema 4. Regresi´on lineal simple

Contenidos
El objeto del an´alisis de regresi´
on
La especificaci´on de un modelo de regresi´
on lineal simple
Estimadores de m´ınimos cuadrados: construcci´
on y propiedades
Inferencias sobre el modelo de regresi´
on:
Inferencia sobre la pendiente
Inferencia sobre la varianzaEstimaci´
on de una respuesta promedio
Predicci´
on de una nueva respuesta

Tema 4. Regresi´on lineal simple

Objetivos de aprendizaje
Saber construir un modelo de regresi´
on lineal simple que describa
c´omo influye una variable X sobre otra variable Y
Saber obtener estimaciones puntuales de los par´ametros de dicho
modelo
Saber contruir intervalos de confianza y resolver contrastessobre
dichos par´ametros
Saber estimar el valor promedio de Y para un valor de X
Saber predecir futuros de la variable respuesta, Y

Tema 4. Regresi´on lineal simple

Referencias en la bibliograf´ıa
Meyer, P. “Probabilidad y aplicaciones estad´ısticas”(1992)
Cap´ıtulo

Newbold, P. “Estad´ıstica para los negocios y la econom´ıa”(1997)
Cap´ıtulo 10

Pe˜
na, D. “Regresi´on y an´alisisde experimentos”(2005)
Cap´ıtulo 5

Introducci´on

Un modelo de regresi´on es un modelo que permite describir c´omo influye
una variable X sobre otra variable Y .

X: Variable independiente o explicativa o ex´
ogena
Y: Variable dependiente o respuesta o end´
ogena
El objetivo es obtener estimaciones razonables de Y para distintos valores
de X a partir de una muestra de n pares devalores (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ).

Introducci´on

Ejemplos
Estudiar c´omo influye la estatura del padre sobre la estatura del hijo.
Estimar el precio de una vivienda en funci´
on de su superficie.
Predecir la tasa de paro para cada edad.
Aproximar la calificaci´
on obtenida en una materia seg´
un el n´
umero
de horas de estudio semanal.
Prever el tiempo de computaci´
on de unprograma en funci´on de la
velocidad del procesador.

Introducci´on
Tipos de relaci´on
Determinista: Conocido el valor de X , el valor de Y queda
perfectamente establecido. Son del tipo:
y = f (x)
Ejemplo: La relaci´on existente entre la temperatura en grados
cent´ıgrados (X ) y grados Fahrenheit (Y ) es:
y = 1,8x + 32
Plot of Grados Fahrenheit vs Grados centígrados

Grados Fahrenheit112

92

72

52

32
0

10

20

Grados centígrados

30

40

Introducci´on
Tipos de relaci´on
No determinista: Conocido el valor de X , el valor de Y no queda
perfectamente establecido. Son del tipo:
y = f (x) + u
donde u es una perturbaci´
on desconocida (variable aleatoria).
Ejemplo: Se tiene una muestra del volumen de producci´on (X ) y el
costo total (Y ) asociadoa un producto en un grupo de empresas.
Plot of Costos vs Volumen
80

Costos

60

40

20

0
26

31

36

41

Volumen

Existe relaci´on pero no es exacta.

46

51

56

Introducci´on
Tipos de relaci´on
Lineal: Cuando la funci´
on f (x) es lineal,
f (x) = β0 + β1 x
Si β1 > 0 hay relaci´
on lineal positiva.
Si β1 < 0 hay relaci´
on lineal negativa.
Relaciónlineal negativa
10

6

6

Y

Y

Relación lineal positiva
10

2

-2

2

-2

-6

-6
-2

-1

0

1

2

X

Los datos tienen un aspecto recto.

-2

-1

0

X

1

2

Introducci´on

Tipos de relaci´on
No lineal: Cuando la funci´
on f (x) no es lineal. Por ejemplo,
f (x) = log (x), f (x) = x 2 + 3, . . .
Relación no lineal
2
1

Y

0
-1
-2
-3
-4-2

-1

0

X

Los datos no tienen un aspecto recto.

1

2

Introducci´on

Tipos de relaci´on
Ausencia de relaci´on: Cuando f (x) = 0.
Ausencia de relación
2,5
1,5

Y

0,5
-0,5
-1,5
-2,5
-2

-1

0

X

1

2

Medidas de dependencia lineal
La covarianza
Una medida de la dependencia lineal es la covarianza:
n

(xi − x¯) (yi − y¯ )
cov (x, y ) =

i=1...