combinación y descomposición de funciones

COMBINACION DE FUNCIONES. Ejemplo 1. Dadas las funciones f(x)= x2 + 4x y g(x)= x2 – 9; las combinaciones aritméticas de estas funciones serían:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = (x2 + 4x) + (x2 – 9) = x2 + 4x + x2 – 9
= 2x2 + 4x – 9 Dom. (f + g)(x): R
(f – g)(x) = f(x) – g(x) = (x2 + 4x) – (x2 – 9) = x2 + 4x – x2 + 9
= 4x + 9 Dom. (f – g)(x): R
(f.g)(x) = f(x).g(x) = (x2 + 4x) (x2 – 9) = x4 + 4x3 –9x2 – 36x
Dom. (f.g)(x): R
(f/g)(x) = f(x)/g(x) = (x2 + 4x)/( x2 – 9)
Dom. (f/g)(x): R excepto x = - 3 y x = 3
En notación de Intervalo: (-∞, -3)U(-3,3)U(3,∞)
Ejemplo 2. Sean f(x) = [pic] y g(x) = [pic]; encontrar las funciones f+g, f-g, fg y f/g y determinar los correspondientes dominios.
(f+g)(x)= [pic] + [pic]
(f-g)(x)= [pic] - [pic]
(fg)(x)= ([pic])([pic])= [pic]
= [pic]
= [pic](f/g)(x)= [pic] = [pic]
Dominios de f y g:
Dom. de f: x ≤ 4 o ( - ∞, 4] HACER GRÁFICO
Dom. de g: x ≥ - 3 o [ - 3, ∞)
La intersección de ambos
intervalos es: ( - ∞, 4]([ - 3, ∞) = [ -3, 4]
Para el dominio de la función cociente, f(x)/g(x), el dominio no debe incluir aquellos valores que hacen cero al denominador, porque la división por cero no está definida, por lo tanto, el dominio de lafunción cociente sería ( - 3, 4 ].(Hacer gráfico)
Ejemplo 3. Sean f(x) = [pic] y g(x) = [pic]; encontrar las funciones f+g, f-g, fg y f/g y determinar los correspondientes dominios.
Ejemplo 4. Sean f(x) = [pic] y g(x) = [pic]; encontrar las funciones f+g, f-g, fg y f/g y determinar los correspondientes dominios.
Composición de Funciones.
Otro método para combinar las funciones f y g se llamaComposición de Funciones. Para ilustrar el concepto, supongamos que para una x dada en el dominio de g, el valor de la función g(x) es un número en el dominio de la función f; esto quiere decir, que se puede evaluar f en g(x), es decir, que se puede evaluar f[g(x)].
Composición de Funciones.
Sí f y g son dos funciones, la composición de f y g, representada por f o g, es la función definida por:
(f og)(x) = f(g(x))
El Dominio de f o g
es el conjunto de todos los números reales x en el dominio de g donde g(x) está en el dominio de f.
La composición de g y f, representada por g o f, es la función definida por:
(g o f)(x) = g(f(x))
El Dominio de g o f es el conjunto de todos los números reales x en el dominio de f donde f(x) está en el dominio de g.
El dominio de f o g es siempre unsubconjunto del dominio de g y el rango de f o g es siempre un subconjunto del rango de f. (hacer gráfico)
Cuando se calcula una composición como (f o g)(x) = f(g(x)), no olvidar sustituir toda x que aparezca en f(x), en g(x).
Ejemplo 1. Sí f(x) = x2 + 3x – 1 y g(x) = 2x2 + 1; determinar
a. (f o g)(x) b. (g o f)(x)
Solución:
a. (f o g)(x) = f(g(x))
= f(2x2 + 1)
= (2x2 + 1)2 + 3(2x2 + 1) – 1
= 4x4+ 4x2 + 1 + 6x2 + 3 – 1
= 4x4 + 10 x2 + 3
b. (g o f)(x) = g(f(x))
= g(x2 + 3x – 1)
= 2(x2 + 3x – 1)2 + 1
= 2(x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1) + 1
= 2x4 + 12x3 + 14x2 – 12x + 2 + 1
= 2x4 + 12x3 + 14x2 – 12x + 3
Ejemplo 2. Sí f(x) = x2 + 3x – 1 y g(x) = 2x + 1; determinar
a. (f o g)(x) b. (g o f)(x)
Ejemplo 3. f(x) = x2 + 1 y g(x) = 2x2 – x; determinar
a. (f o g)(x) b. (g o f)(x)
Ejemplo 4.Encontrar (f o g)(x) y su dominio para f(x) = [pic] y g(x) = [pic]
Solución: Se debe comenzar por determinar el dominio de f y de g.
Dominio de f: - 2 ≤ x ≤ 2 ó [ -2, 2]
Dominio de g: x ≤ 3 ó (- ∞, 3]
La composición (f o g)(x) = f(g(x))
= f([pic])
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
Aún cuando [pic] está definida para toda x ≥ -1, se debe restringir el dominio de (f o g)(x) a aquellos valoresque también están en el dominio de g; por tanto:
Dominio de (f o g): x ≥ -1 y x ≤ 3 ó [ -1, 3]
Ejemplo 5. Encontrar (f o g)(x) y su dominio para f(x) = [pic] y g(x) = [pic]
Otros Ejemplos: Calcular “f o g” y “g o f” y el dominio.
a. f(x) = x2 + 1 g(x) = [pic]
b. f(x) = [pic] g(x) = x2 + 1
c. f(x) = x + 1 g(x) = x + [pic]



COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales de...