Combinacion

* Un biólogo realizó un experimento sobre la cantidad de individuos en una población de paramecium* en un medio nutritivo y obtuvo el modelo g(t)=ln(t2 −2t+5) donde t se mide en días y g(t) es el número de individuos en el cultivo. Indique después de cuánto tiempo el número de individuos en lapoblación es mínimo.
g(t)= ln(t2 −2t+5) es la función establecida para hallar el tiempo.
Como lo que queremos es desaparecer el operador logaritmo, aplicamosla derivada al a función:
g't=2t-2t2-2t+5
Con la primera derivada hallamos los puntos críticos para saber qué valor puede tomar t
2t-2t2-2t+5=0
Sitratamos de factorizar t2-2t+5 no se puede factorizar en los R, porque usando la ecuación general x= -b±b2- 4bc2a da como resultado un número complejo,esto significa que no tomaremos t2-2t+5:
2t-2= 0
2t=2
t=1
Entonces aplicamos la segunda derivada para hallar el mínimo relativo:g''t=2t-2't2-2t+5-(2t-2)(t2-2t+5)'(t2-2t+5)2
g''t=2t2-2t+5-2t-2(2t-2)(t2-2t+5)2

g''t=2t2-4t+10-4t2-8t+4(t2-2t+5)2
g''t=-2t2+4t+6(t2-2t+5)2
Ahora reemplazamos parat=1
g''1=-2(1)2+4(1)+6(12-2(1)+5)2
g''t=-2+4+642
g''t=12
Como 12>0 entonces t=1 es un mínimo relativo.
Esto significa que pasado 1 día el númerode individuos en el cultivo es mínimo, 0<t<1 en este intervalo la función es decreciente; y en t>1 la función es creciente. A partir de t=0 elnúmero de individuos comienza a disminuir hasta llegar a la cantidad mínima de g(1)=ln4 individuos al primer día. Pasado un día la población aumenta.