Combinaciones y permutaciones

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P E R M U T A C I O N E S

El número de permutaciones de n objetos es el número de formas en los que pueden acomodarse esos objetos en términos de orden.

Permutaciones En n Objetos

Permutaciones de n elementos tomando n a la vez es igual a:

nPn = n! = (n) x (n-1) x… x (2) x (1)

Ejemplo

Los cinco individuos que componen la dirección de una pequeña empresa manufacturera seránsentados juntos en un banquete. Determinar el número de diferentes posiciones posibles de los asientos para los cinco individuos.

Solución

n Pn = n! = 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120

Permutaciones En Subgrupo De n Objetos

El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez, donde r es menor que n es igual a:
nPr = n!

----(n-r)!

Ejemplo

En relación al ejemplo anterior, supongamos que sólo a tres de los cinco directivos se les pedirá representar a la compañía en el banquete. ¿Cuántas diferentes posiciones serán posibles en la mesa considerando que pueden ser elegidos tres cualesquiera de los cinco individuos?

Solución

n Pr = 5 P3 = n! = 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 60
---- --------------------

(n - r)! (5 - 3)! (2)(1)

C O M B I N A C I O N E S

En el caso de las combinaciones, lo importante es el número de agrupaciones diferentes de objetos que pueden incurrir sin importar su orden.

Por lo tanto en las combinaciones se busca el número se subgrupos diferentes que pueden tomarse a partir de n objetos.

El número de combinaciones de nobjetos tomados r a la vez es igual a:
nCr = n!

----

r! (n-r)!

Ejemplo

Supongamos que se elegirá a tres miembros de una pequeña organización social con un total de diez miembros para que integren un comité. ¿Cuál es el número de grupos diferentes de tres personas que pueden ser elegidos, sin importar el diferente ordenen el que cada grupo podría elegirse?

Solución

nCr =10C3 = n! = 10! =10×9x8×7!=10×9x8=720= 120
------- ------- --------- ------ ---

r(n - r)! 3!(10–3)! 3!x7! 3×2x1 6

Combinaciones representando la probabilidad

En términos de combinaciones, frecuentemente podemos determinar la probabilidad de un evento determinado, el número de combinaciones deresultados que incluyen ese evento en comparación con el número total de combinaciones posibles.

Ejemplo

En referencia al anterior, del los 10 miembros, seis son mujeres y cuatro son hombres, ¿Cuál es la probabilidad de que de una elección aleatoria de los miembros del comité diera por resultado la selección de dos mujeres y un hombre?

Número de comités con 2M y 1H = 6 C2 x 4 C1 =(

6!x 4! = 6! x 4! = 15 x 4 = 60
2!(6–2)! 1!(4–1)! 2!(4!) 1!(3!)

Número total de combinaciones posibles = 10 C3 =(
10! = 10! = (10)(9)(8) = 720 = 120

3!(10 - 3)! 3!(7!) (3)(2)(1) 6

Probabilidad que sean 2H y 1M =(

P(2M y 1H) = 6 C2 x 4 C1 = 60 = 0.5010 C3 120

Ejercicios sugeridos

a) Supongamos que hay ocho diferentes lugares de capacitación administrativa para asignar a ocho empleados en el programa preliminar de capacitación administrativa de una empresa. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ser asignados los ocho individuos a los ocho lugares distintos?

b) En referencia ala situación descrita en el inciso a, supongamos que sólo se dispone de seis diferentes lugares para los ocho candidatos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden asignarse los seis lugares distintos a seis de los ocho individuos

c) En referencia a la situación descrita en el inciso b, supongamos que seis de los lugares disponibles pueden considerarse comparables y en realidad iguales para...
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