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Universidad Nacional de Quilmes Diplomatura en Economía y Administración Álgebra Segundo cuatrimestre 2012 Sistemas de ecuaciones lineales. Determinantes.
Sistemas de ecuaciones lineales. Consideremos la siguiente situación: Encontrar n escalares x1, x2 ,x3 ,.....,xn tales que satisfagan la siguientes m ecuaciones  a11 x1 + a 12 x 2 + ..... + a1n x n = b1  a x + a x + ..... + a x =b  21 1 22 2 2n n 2 (1)  ........................................  a m1x1 + a m 2 x 2 + ..... + a mn x n = b m  donde bi ∈ R, i=1,2,...,m y aij ∈ R, ∀i, ∀j. Al conjunto formado por estas m ecuaciones lo llamamos sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. El sistema (1) es compatible, si existe alguna n-upla (x1,x2,....,xn), tal que reemplazados los xi en cada una de las m ecuaciones,las satisface. Tal n-upla se llama una solución del sistema. Cuando no es posible encontrar tal n-upla para un sistema dado, el sistema es incompatible. El sistema (1) se puede escribir en forma matricial:  x1   b1    a11 a 12 . . a 1n      x 2   b 2   a 21 a 22 . . a 2 n    . = .   .  . . . .      .   .  a   m1 a m 2 . . a mn  x   b   n  m

 a11a12 . . a1n     a 21 a 22 . . a 2n  A=  se llama la matriz de los coeficientes . . . . .    a   m1 a m 2 . . a mn   x1     x2  X =  .  es la matriz columna de las incógnitas    .  x   n

Diplomatura en Economía y Administración C. Grosso, P. Blondheim

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 b1     b2  B =  .  es la matriz columna de los términos independientes    .  b   m a11 a12   a 21 a 22 La matriz  . .  a  m1 a m 2 . . . . . a1n b1   . a 2n b 2  se llama matriz ampliada del sistema. . . .   . a mn b  

El siguiente método permite computar todas las soluciones que admite un sistema de ecuaciones lineales si es compatible o determinar efectivamente que el sistema es incompatible. El método consiste en transformar el sistema original en otroequivalente "reducido". Por "reducido", en forma imprecisa, entendemos a un sistema con la mayor cantidad de ceros posible como coeficientes de las incógnitas. De esta manera llegamos a eliminar incógnitas en las diferentes ecuaciones y eventualmente podemos eliminar ecuaciones; obtenemos así un sistema en el que el cómputo de las soluciones se simplifica. La reducción de un sistema se logra haciendocombinaciones lineales entre las ecuaciones, es decir, operaciones elementales entre las filas de la matriz ampliada del sistema.

Ejercicio 1: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales  2x − y − 5z = 1  2 x + 3y − 4 z = 1   b)  3 x − y + 2 z = −2 a)  x + 3y − 4 z = 4  y − 2z −1= 0 5 x − 9y + 14 z = 3  
 x + 3y − 4 z − 4 = 0  c)  y − 2z = 1 2 x + 5y − 6 z − 7 = 0  x + 2y− z + 5u = 7   d)  3 x − y + 4 z + 2u = 8 − 7 x + 7y − 14 z + 4u = −10 

Sistemas homogéneos Un sistema de ecuaciones lineales en el que todos los términos independientes son ceros se llama sistema homogéneo.  a 11x1 + a12 x 2 + ..... + a 1n x n = 0  a x + a x + ..... + a x = 0  21 1 22 2 2n n  ........................................  a m1x1 + a m 2 x 2 + ..... + a mn x n = 0  Unsistema homogéneo siempre es compatible pues admite la llamada "solución trivial" x1 = 0, x2 = 0, . . . . . . , xn = 0. El objetivo es determinar si la solución trivial es la única o si existen otras soluciones. Diplomatura en Economía y Administración C. Grosso, P. Blondheim

Álgebra Ejercicio 2: Hallar todas las soluciones de cada uno de los siguientes sistema homogéneo: x−y+z =0  x − 2y +3u = 0   b)  a)  x − 2y − z = 0  y+z=0 2 x + 5y + 6u = 0  

Ejercicio 3: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones mediante el método de reducción:

2 x + 3 y = 5  a)   x − 2 y = −1 
 x − 3y = 0  c) 2 x − 2y = 3  5x − y = 1 
  2x − 4 z = 8  e)  x − 2y − 2 z = 14  x + y − 2 z = −1   3x + y + z = 0  x + 6y − 2 z = 0  g)  2 x − 3y + 4 z = 0   x+y =0  i) 3...