COMO OBTENER LA ECUACI N DIFERENCIAL ORDINARIA LINEAL DE ORDEN SUPERIOR CON COEFICIENTES CONSTANTES CONOCIENDO LA SOLUCI N GENERAL

COMO OBTENER LA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA LINEAL DE ORDEN SUPERIOR CON COEFICIENTES CONSTANTES CONOCIENDO LA SOLUCIÓN GENERAL

EJEMPLO 1:
Dada la función
y = ex/2
obtener la ecuacióndiferencial para la cual la función dada es su solución general.

SOLUCIÓN:
Recordando que la solución general de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes es y = yh + yp, donde yh es lasolución general de la ecuación homogénea asociada, yp es una solución particular de la ecuación completa, observando la función se tiene que
yh = ex/2 ; yp =
Analizando yh
yh = ex/2
= ex/2ex/2
( con C1 = K1 + K2 y C2 = K1 i – K2 i).
Las soluciones particulares de la ecuación homogénea asociada son:
y1 = ex/2
y2 = ex/2
y3 = e – x
Para las dos primeras soluciones, setienen que las raíces son complejas.
La parte real corresponde al coeficiente del argumento de ex/2, esto es 1/2
La parte imaginaria corresponde al coeficiente del argumento de las funcionestrigonométricas, esto es .
Así, las raíces complejas son r1 = , r2 =
Para la tercera solución, la raíz es real e igual a r3 = – 1
Luego los factores que generan el polinomio característico son:
r –= 0 , r – = 0 , r + 1 = 0
es decir, P(r) =

Desarrollando
P(r) = (r + 1)
= (r2 – r + 1) (r + 1) = r3 + r2 – r2 – r + r + 1 = r3 + 1
Así, P(r) = r3 + 1; de aquí resulta que la ecuaciónhomogénea asociada es y´´´ + y = 0

Recordando que yp = , aplicando P(D) a ambos lados, resulta que B(x) = P(D) yp, donde P(D) = D3 + 1 y yp = .
Luego,
B(x) = (D3 + 1) = ex ((D+1)3 + 1) = ex(D3 + 3D2 + 3D +2)
Puesto que: D = , D2 = 0 y D3 = 0, entonces
B(x) = ex + 2 = x ex ⇒ B(x) = x ex

Por lo tanto, la ecuación diferencial cuya solución general es
y = ex/2
es
y´´´ + y= x ex






















EJEMPLO 2:
Dada la función
y = C1 e2x + C2 x e2x + e2x
obtener la ecuación diferencial para la cual la función dada es su solución general.

SOLUCIÓN:
Recordando...