Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden superior con coeficientes constantes

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE ORDEN SUPERIOR CON COEFICIENTES VARIABLES

ECUACIÓN DE CAUCHY – EULER
Tiene la forma

[pic] (1)
Observe que la parte variable de los coeficientes son potencias de x, cuyo exponente coincide con el orden de la derivada a la cual multiplican.
Sea D = [pic]. Si la ecuación (1) se escribe utilizando la notación de operadorresulta
[pic] (2)
Para obtener la solución general de la ecuación (2), ésta debe transformarse en una ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes. Para ello se asume que
[pic]
Con este supuesto se tiene que
[pic] (3)
Escribiendo la ecuación (3) con notación de operadores, D= [pic] y D =[pic]
Dy = [pic] Dy ⇒ x Dy = Dy
Derivando la ecuación (3) respecto de x
[pic]
[pic] (4)
Escribiendo la ecuación (4) con notación de operadores, D = [pic] y D =[pic]
D2y = [pic] (D2y – Dy) ⇒ x2 D2y = D (D – 1) y

Derivando la ecuación (4) respecto de x[pic]
[pic] (5)
Escribiendo la ecuación (5) con notación de operadores, D = [pic] y D =[pic]
D3y = [pic] (D3y – 3D2y + 2 Dy) ⇒ x3 D3y = D (D – 1) (D – 2) y
Generalizando,

xn Dny = D (D – 1) (D – 2) ………..(D – (n – 2)) (D – (n – 1)) y

Sustituyendo en la ecuación (2), las expresionesque están en recuadro

An D (D – 1) (D – 2) ………..(D – (n – 2)) (D – (n – 1)) y
+ An-1 D (D – 1) (D – 2) ………..(D – (n – 2)) y
+ An-2 D (D – 1) (D – 2) ………..(D – (n – 3)) y + ………………..
+ A3 D (D – 1) (D – 2) y + A2 D (D – 1) y + A1 Dy + A0 y = H (ez) (6)

La ecuación (6) es una ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientesconstantes, donde y es la variable dependiente, z es la variable independiente. Esta ecuación se resuelve por los procedimientos ya estudiados. Una vez obtenida la solución de la ecuación (6), es decir, una vez obtenida la variable y como una función que depende de z, se devuelve el cambio de variable (z = lnx), para así tener la solución general de la ecuación (1).

ECUACIÓN DE LEGENDRETiene la forma

[pic] (1)
Observe que la parte variable de los coeficientes son potencias de x, cuyo exponente coincide con el orden de la derivada a la cual multiplican.
Sea D = [pic]. Si la ecuación (1) se escribe utilizando la notación de operador resulta
[pic] (2)
Para obtener la solución general de la ecuación (2), ésta debetransformarse en una ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes. Para ello se asume que
[pic]
Con este supuesto se tiene que
[pic] (3)
Escribiendo la ecuación (3) con notación de operadores, D = [pic] y D =[pic]
Dy = [pic] Dy ⇒ (ax+b) Dy = a Dy
Derivando laecuación (3) respecto de x
[pic]
[pic] (4)
Escribiendo la ecuación (4) con notación de operadores, D = [pic] y D =[pic]
D2y = [pic] (D2y – Dy) ⇒ (ax +b)2 D2y = a2 D (D – 1) y
Derivando la ecuación (4) respecto de x
[pic][pic] (5)
Escribiendo la ecuación (5) con notación de operadores, D = [pic] y D =[pic]
D3y = [pic] (D3y – 3D2y + 2 Dy) ⇒ (ax+b)3 D3y = a3 D (D – 1) (D – 2) y
Generalizando,

(ax+b)n Dny = an D (D – 1) (D – 2) ………..(D – (n – 2)) (D – (n – 1)) y

Sustituyendo en la ecuación (2), las expresiones que están en recuadro

An an D (D...