complejo

Funciones de Variable Compleja 1
1.

Introducci´
on al cuerpo de los complejos

Vamos a definir a los complejos como C = {(a, b) ∈ R2 } y vamos a adoptar la notaci´on z = (a, b) ∼ a + ib donde
i es el bien conocido numero imaginario que cumple que i2 = −1. Al valor a le vamos a llamar Re[z] la parte real del
complejo y a b le vamos a llamar Im[z] la parte imaginaria. Vamos tambi´en a definir lassiguientes operaciones:
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
(a + ib) · (c + id) = ac + i2 b + iad + ibc = (ac − bd) + i(ad + bc)
Estas son la suma y el producto, el producto fue extendido de forma de mostrar claramente que la intenci´on de las
operaciones definidas es que se opere con el numero i.
Al igual que los Reales, con estas operaciones, los Complejos son un cuerpo, es decir, tienendefinidas dos operaciones
(la suma y el producto) y estas cumplen ciertas propiedades. Este cuerpo se nota como (C, +, ·) y cumple (como
todos los cuerpos) que es cerrado bajo ambas operaciones, con la primera es un grupo abeliano (cumple asociativa,
conmutativa, existencia de neutro y de inverso), con la segunda tambi´en si quitamos del conjunto al neutro de la suma
y adem´as cumple ladistributiva. Por esto esta definida (a diferencia de R2 ) la divisi´on y es f´acil ver que el inverso del
complejo z = a + ib es el complejo z −1 = aa−ib
2 +b2 . Nada de esto es nuevo, todas estas propiedades son bien parecidas
a las estudiadas para reales, y todos los resultados conocidos que se desprenden de estas propiedades valen tanto
para los Reales como para los Complejos (se puede demostrar quelas operaciones as´ı definidas cumplen todas estas
propiedades). El problema es que no hay forma de definir en estos n´
umeros un orden como el que existe en los reales
que mantenga todas las propiedades que cumple el orden de estos (como por ejemplo la monoton´ıa, etc.).
Topol´ogicamente los Complejos se comportan de forma id´entica a R2 definiendo la m´etrica a partir del valor
absoluto de uncomplejo:
|z| = |a + ib| =

a2 + b2

que induce una topolog´ıa equivalente a la de R2 (observar que es la distancia euclidea al origen) por lo que todas las
propiedades topol´ogicas ya conocidas para R2 son v´alidas.
Como se ve, un n´
umero complejo puede ser visto como un vector de R2 o sea que tambi´en puede ser definido por
su m´odulo y el ´angulo que forma con el eje real. A este ´angulo se lellama argumento y es una funci´on de los complejos
en los reales cocientados con la relaci´
on de equivalencia a ∼ b ⇔ a − b = 2kπ con k ∈ Z. De esa forma tambi´en vamos
a usar como notaci´
on esa propiedad escribiendo z = |z|ei arg(z) donde como ya se sabe la exponencial esta definida
como:
ez = eRe[z] (cos(Im[z]) + i sen(Im[z]))
Esto hace intentar definir las funciones seno y coseno de uncomplejo y esto se hace de la siguiente forma:
eiz + e−iz
2
eiz − e−iz
sen(z) =
2i
Es f´acil ver que estas funciones extienden a las funciones reales de igual nombre y adem´as que cumplen casi todas
las mismas propiedades (no todas, por ejemplo el seno y el coseno no son acotados), pero en este texto no nos vamos
a detener en eso. Tambi´en se puede definir la funci´on inversa de la exponencial comolog(z) = ln |z| + i arg(z) que es
una funci´on multiforme y se soluciona eligiendo el representante a tomar de arg(z).
Tambi´en como es sabido se define otra operaci´on; la conjugaci´on en la cual si z = a + ib entonces z = a − ib.
Observamos que esta es una introducci´
on con la intenci´on de presentar la notaci´on a ser usada y fijar los conocimientos previos requeridos para continuar lalectura.
cos(z) =

2.
2.1.

Funciones de variable compleja
Derivabilidad

Definici´
on 2.1. Decimos que Ω ⊂ C es una regi´
on sii es abierto y conexo.
Definici´
on 2.2. Dada f : Ω → C decimos que es derivable en z0 ∈ Ω sii existe
l´ım

h→0

f (z0 + h) − f (z0 )
= f (z0 ) ∈ C
h

y a f (z0 ) le llamamos derivada de f en z0 .
1 Notas

realizadas por Rafael Potrie en el primer semestre de 2004 y revisadas...