complejos completo civil ambiental

Ingeniería Civil Ambiental

Contenido
1.
1.1
1.2
1.3
2.
2.1
2.2

2.3

2.4
2.5

2.6
2.7

3
3.1
3.2
3.3
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.3.4

Introducción.
Un poco de historia: los inicios del álgebra.
Cardano.
Bombelli.
Números imaginarios.

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Álgebra de números complejos.
Definición de número complejo.
Suma de números complejos.
Resta de números complejos.
Propiedades generales de la suma y resta denúmeros complejos.
Producto de números complejos.
Propiedades generales del producto de números complejos.
El conjugado de un número complejo.
El módulo de un número complejo.
División de números complejos.
Ejercicios.
Representación geométrica.
Interpretación geométrica del módulo y del conjugado.
Suma geométrica de números complejos.
La forma polar.
Multiplicación y división en la forma polar.Potencias y raíces de números complejos.
Formula de De Moivre.
Ejercicios.

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La fórmula de Euler.
El número e.
Aplicaciones a la trigonometría.
Aplicaciones a la geometría.
El teorema de Pitágoras.
La ley de los cosenos.
Teorema del triángulo inscrito en un semicírculo.
El área del círculo.
Ejercicios.

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49Bibliografía.

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Lic. Mat. Jorge Díaz Albújar

INTRODUCCIÓN

Los números complejos
El tema de los Números Complejos, a pesar de ser tan interesante por
integrar la trigonometría, el álgebra y la geometría, es muy poco estudiado.
Para muchos docentes, la finalidad de los números complejos está en poder
calcular las raíces enésimas de la unidad. En los cursos de álgebra de la
Universidad, apenas se esbozanalgunas de sus propiedades más importantes,
dejando de lado aspectos geométricos tan importantes como el estudio de las
transformaciones y los movimientos del plano.
El poder de cálculo que se esconde detrás de los complejos, es algo
mágico. Con un mínimo de esfuerzo, podemos derivar identidades y fórmulas
trigonométricas que requieren de un trabajo tedioso y agotador, siguiendo los
métodosusuales. Muchos conceptos de la matemática, como el de función,
límites, series de potencias y continuidad se estudian de manera bastante
natural dentro del ambiente de los números complejos. Los argumentos de
prueba son mucho más intuitivos y transparentes en el plano.
En el presente, se tratan los aspectos históricos más importantes sobre los
números complejos, que considero son fundamentales paracualquier desarrollo
didáctico de este tema dentro del aula y espero que sirva para motivar a los
docentes y estudiantes hacia el estudio de este y otros temas que puedan surgir
a partir de éste. Además, también espero que resuelva esa inquietud que surge
en los estudiantes: ¿Por qué los números complejos? ¿De dónde surgen? ¿Por
qué se llaman complejos o imaginarios? ¿Para qué sirven?

ii

1. Unpoco de historia: los inicios del álgebra
Muchos conceptos en matemáticas tardaron varios años y hasta siglos
en desarrollarse, desde el momento en que fueron descubiertos por primera
vez, por alguna mente brillante, hasta la formalización de los mismos. El avance
en el tiempo de la matemática fue un proceso lento, debido al carácter formal de
esta ciencia: una de sus reglas es que cualquier objetonuevo debe estar
claramente definido para ser aceptado por toda la comunidad. Así pues,
muchas ideas incompletas quedaron relegadas a la oscuridad y el olvido por no
encajar en el sistema de razonamiento de la época, como fue el caso de los
números complejos.
Fue en Italia, durante el periodo del renacimiento, cuando por vez
primera los algebristas se dedican a investigar seriamente estos númerosy
penetran el halo misterioso en que se hallaban envueltos desde la antigüedad.
Los complejos aparecen inicialmente en el libro Ars Magna de Girolamo
Cardano, publicado en 1545. Pero ¿Cómo surge la idea de usar estos
números? ¿Porqué no aparecieron antes? ¿Quién era Cardano? Trataremos de
contestar a estas interrogantes remontándonos a los orígenes del álgebra.
Podemos decir que los números...