complejos

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SINALOA
INGENIERÍA EN PROCESOS INDUSTRIALES

Í N D I C E

D E

T A B L A S

TABLA

PÁGINA

Tabla 1. Distintas representaciones de los números complejos

3

Tabla 2. Propiedades de la suma compleja

7

Tabla 3. Propiedades de la multiplicación compleja

9

Tabla 4. Propiedades del conjugado de un número complejo

10

ii

Í N D I C E

DE

F I G U R A S

FIGURA

PÁGINA

Figura 1. Representación en diagramas de Venn de los subconjuntos
incluidos en los números complejos

2

Figura 2. Representación gráfica de números complejos

5

Figura 3. Representación geométrica de un número complejo

14

iii

Í N D I C E
ÍNDICE DE TABLAS

ii

ÍNDICE DE FIGURAS

iii

1. DEFINICIÓN Y OPERACIONES FUNDAMENTALES1

1.1.
1.2.
1.3.
1.4.

Suma y resta de números complejos
Multiplicación de números complejos
División de números complejos
Igualdad de números complejos

6
8
10
13

2. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA Y POLAR

14

3. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS
COMPLEJOS EN FORMA POLAR

18

3.1.
3.2.

18
19

Multiplicación
División

4. TEOREMA DE DE MOIVRE

21

5. RAÍCESDE NÚMEROS COMPLEJOS

23

REFERENCIAS

25

iv

Créeme, con números complejos
puedes hacer cualquier cosa
John Derbyshire

La única razón de que nos gusten
los números complejos es
porque no nos gustan los reales.
Bernd Sturmfels

v

Números Complejos

1. DEFINICIÓN Y OPERACIONES FUNDAMENTALES

¿Cómo surgen?

Lo más complicado de los números complejos es entender porqué son necesarios.
Antes de contestar esta pregunta, recordemos por qué necesitamos lidiar con nuevos
conjuntos de números dentro de los reales:
Los números naturales son los primeros que tienen sentido para nosotros, pues
responden a la pregunta de ‗¿cuántos?‘; aprendimos a sumar, multiplicar y restar con
ellos, y no pasó mucho tiempo sin que nos diéramos cuenta que algunas restas notendrían respuesta si únicamente usáramos números naturales, de ahí que sea
necesario trabajar con los enteros. Con este nuevo conjunto, dimos respuesta a todos
nuestros problemas de sustracciones.
Satisfechas las operaciones de suma, multiplicación y resta, hubo que lidiar con las
divisiones dado que muchas de ellas no tienen resultados enteros. Así que tuvimos que
trabajar con los racionales.Posteriormente surge la necesidad de trabajar con potencias y raíces cuadradas y se
te dijo que ‗no puedes sacar la raíz cuadrada de un número negativo‘. Esto es porque no
conocías ningún número que siguiera siendo negativo después de elevarlo al cuadrado,
es decir, todos los números que conoces se vuelven positivos una vez que los elevas al
cuadrado.
Pero, ¿qué sucede cuando tienes que darrespuesta a situaciones como
?
Inmediatamente contestamos que esta ecuación no tiene solución. Y es cierto, dentro
del universo de los reales.
A principios del siglo XVI, un matemático italiano llamado Cardano, se topó con una
situación similar mientras trataba de encontrar soluciones a ecuaciones cúbicas, ya
que ésta requiere de cálculos que implican el manejo de raíces cuadradas de númerosnegativos, aún cuando las soluciones finales sean reales. Esto dio lugar tiempo después
al Teorema Fundamental del Álgebra, que afirma que para toda ecuación polinomial de
grado n existen soluciones ya sean reales o complejas.

Laura Alejandra Bonilla Ramos

1

Números Complejos

Los números complejos tienen aplicación en distintos campos como ingeniería,
electromagnetismo, físicacuántica, matemáticas aplicadas y teoría del caos.

Definición y notación
Se le da el nombre de número complejo a un número Z compuesto por un par
ordenado de números reales (a, b), donde „a‟ es la parte real del número y „b‟ la
parte imaginaria.
Mientras que los números reales quedan representados gráficamente en la recta
numérica, los números complejos quedan representados en el plano...