Complementos Matemáticos Para El Cálculo De Campos Electromagnéticos
Páginas: 10 (2305 palabras)
Publicado: 22 de mayo de 2012
[pic]
EL32B CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
Complementos de Matemáticas
Santiago, Chile
2003.
1 NOTACION VECTORIAL.
Un vector es una cantidad que posee tanto magnitud como dirección. Un vector puede expresarse mediante tres componentes escalares según una terna de referencia convenientementeelegida. Los sistemas de coordenadas más comunes son el cartesiano, esférico y cilíndrico.
En el sistema de coordenadas cartesianas (fig. A.1) un vector queda representado por:
[pic]
donde [pic] son vectores unitarios en las direcciones [pic] respectivamente.
1.1 Producto Escalar (o producto punto) de dos vectores.
El producto escalar de [pic] y [pic] se escribe [pic]; es un escalar igual alproducto de las amplitudes de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. En términos de sus componentes, [pic] está dado por:
[pic] = [pic]
[pic] = [pic]
ya que
[pic]
[pic]
Si [pic], los dos vectores deben ser perpendiculares.
1.2 Producto vectorial (o producto cruz) de dos vectores.
El producto vectorial de [pic]y [pic] se escribe [pic] ; es un vectorcuya amplitud es igual al producto de las amplitudes de los dos vectores y el seno del ángulo entre ellos, y cuya dirección es normal al plano que contienen a [pic]y [pic]. La normal positiva está dada por la regla del tirabuzón o de la mano derecha, partiendo el movimiento de rotación del tirabuzón desde el primer vector del producto hacia el segundo (ver figura A.2).
[pic]
En términos de loscomponentes vectoriales, [pic] está dado por:
[pic]
[pic]
| î ĵ k |
[pic] = | Ux Uy Uz |
| Vx Vy Vz |
1.3 Divergencia de un Vector
Consideremos un punto rodeado de un pequeño volumen V. La componente de [pic] normal a un elemento de la superficie [pic] multiplicado por el área e integrado sobrela superficie, es el flujo normal (saliente) del vector [pic]. La razón entre este flujo y el volumen, a medida que el volumen tiende a cero, se denomina la divergencia de [pic] y se escribe [pic].
Por lo tanto, [pic] es una cantidad escalar; es la medida del flujo saliente total de un vector por unidad de volumen
[pic]
En la fig. A.3, el exceso de flujo saliente sobre el flujo entrante enel plano yz es
[pic]
Considerando las otras contribuciones, se llega a que:
[pic]
[pic]
Teorema de la divergencia o de Gauss
La integral de la divergencia de un vector sobre un volumen [pic] es igual a la integral de superficie de la componente normal del vector sobre la superficie que limita a [pic].
[pic]
Para demostrar este teorema, subdividimos el volumenen un gran número de pequeños elementos.
Si el elemento i tiene un volumen [pic] y está limitado por una superficie [pic], tenemos:
[pic]
donde en cada integral del primer miembro la normal está dirigida hacia afuera del volumen [pic].
Como cada superficie común interior entre los volúmenes diferenciales tiene el flujo saliendo de un volumen y entrando exactamente al volumen adyacente,la contribución neta al flujo para la integral de superficie es cero para todas las superficies interiores. Contribuciones al flujo, diferentes de cero, se obtienen únicamente para aquellas superficies que limitan la superficie exterior [pic] de [pic].
El teorema de la divergencia se obtiene haciendo que el número de elementos tienda a infinito de modo que [pic]. En estas condiciones:
[pic]y en el límite la sumatoria se transforma en integral de volumen sobre [pic] y la razón entre la integral sobre [pic]y [pic] corresponde a [pic].
[pic] [pic]
1.4 Rotacional de un vector.
El rotacional de un vector [pic] se define en términos de una integral de línea alrededor de un camino infinitesimal, dividida por el área encerrada por el camino. El rotacional de un vector...
EL32B CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
Complementos de Matemáticas
Santiago, Chile
2003.
1 NOTACION VECTORIAL.
Un vector es una cantidad que posee tanto magnitud como dirección. Un vector puede expresarse mediante tres componentes escalares según una terna de referencia convenientementeelegida. Los sistemas de coordenadas más comunes son el cartesiano, esférico y cilíndrico.
En el sistema de coordenadas cartesianas (fig. A.1) un vector queda representado por:
[pic]
donde [pic] son vectores unitarios en las direcciones [pic] respectivamente.
1.1 Producto Escalar (o producto punto) de dos vectores.
El producto escalar de [pic] y [pic] se escribe [pic]; es un escalar igual alproducto de las amplitudes de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. En términos de sus componentes, [pic] está dado por:
[pic] = [pic]
[pic] = [pic]
ya que
[pic]
[pic]
Si [pic], los dos vectores deben ser perpendiculares.
1.2 Producto vectorial (o producto cruz) de dos vectores.
El producto vectorial de [pic]y [pic] se escribe [pic] ; es un vectorcuya amplitud es igual al producto de las amplitudes de los dos vectores y el seno del ángulo entre ellos, y cuya dirección es normal al plano que contienen a [pic]y [pic]. La normal positiva está dada por la regla del tirabuzón o de la mano derecha, partiendo el movimiento de rotación del tirabuzón desde el primer vector del producto hacia el segundo (ver figura A.2).
[pic]
En términos de loscomponentes vectoriales, [pic] está dado por:
[pic]
[pic]
| î ĵ k |
[pic] = | Ux Uy Uz |
| Vx Vy Vz |
1.3 Divergencia de un Vector
Consideremos un punto rodeado de un pequeño volumen V. La componente de [pic] normal a un elemento de la superficie [pic] multiplicado por el área e integrado sobrela superficie, es el flujo normal (saliente) del vector [pic]. La razón entre este flujo y el volumen, a medida que el volumen tiende a cero, se denomina la divergencia de [pic] y se escribe [pic].
Por lo tanto, [pic] es una cantidad escalar; es la medida del flujo saliente total de un vector por unidad de volumen
[pic]
En la fig. A.3, el exceso de flujo saliente sobre el flujo entrante enel plano yz es
[pic]
Considerando las otras contribuciones, se llega a que:
[pic]
[pic]
Teorema de la divergencia o de Gauss
La integral de la divergencia de un vector sobre un volumen [pic] es igual a la integral de superficie de la componente normal del vector sobre la superficie que limita a [pic].
[pic]
Para demostrar este teorema, subdividimos el volumenen un gran número de pequeños elementos.
Si el elemento i tiene un volumen [pic] y está limitado por una superficie [pic], tenemos:
[pic]
donde en cada integral del primer miembro la normal está dirigida hacia afuera del volumen [pic].
Como cada superficie común interior entre los volúmenes diferenciales tiene el flujo saliendo de un volumen y entrando exactamente al volumen adyacente,la contribución neta al flujo para la integral de superficie es cero para todas las superficies interiores. Contribuciones al flujo, diferentes de cero, se obtienen únicamente para aquellas superficies que limitan la superficie exterior [pic] de [pic].
El teorema de la divergencia se obtiene haciendo que el número de elementos tienda a infinito de modo que [pic]. En estas condiciones:
[pic]y en el límite la sumatoria se transforma en integral de volumen sobre [pic] y la razón entre la integral sobre [pic]y [pic] corresponde a [pic].
[pic] [pic]
1.4 Rotacional de un vector.
El rotacional de un vector [pic] se define en términos de una integral de línea alrededor de un camino infinitesimal, dividida por el área encerrada por el camino. El rotacional de un vector...
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