Composicion Quimica

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UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
CÁLCULO DIFERENCIAL

GUÍA 12. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

INTRODUCCIÓN

El conocimiento de las derivadas no es suficiente si solo se aprende a manipular algebraicamente sus propiedades, se requiere que el estudiante se plantee y resuelva problemas de tipo real de manera que utilice los conceptos y propiedades relacionados con laderivada de una función.

OBJETIVOS
• Interpretar geométricamente la derivada de una función en un punto, como la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto.
• Obtener la derivada de una función a partir de la definición.
• Aplicar las derivadas para solucionar problemas de máximos y mínimos.
METODOLOGÍA
En esta guía los estudiantes:
• Leen los conceptos, estudian los ejemplosy resuelven los ejercicios planteados.
• Asisten a las asesorías del tutor programadas por la Universidad.
• Plantean sus inquietudes al tutor a través de Chats, correo electrónico, clases virtuales.
• Reciben orientaciones del tutor de manera presencial.
LOGROS

El estudiante estará en capacidad de:

1. Identificar el tipo de problema, expresar la información dada por medio deecuaciones o relaciones.
2. Encontrar la solución usando derivación implícita para problemas de razones relacionadas ó los criterios de derivación en el caso de problemas de optimización.
3. Identificar una forma indeterminada en el cálculo de un límite y aplicar correctamente la regla de L’Hôpital.
CONCEPTOS BÁSICOS
Estrategias para la solución de problemas de optimización
1. Lea el problema lasveces que sea necesario.
2. Haga un dibujo que interprete la situación planteada en el problema, coloque allí las constantes y variables a las que se refiere el problema.
3. Identifique la variable que se desea hallar (maximizar o minimizar).
4. Escriba una ecuación que involucre como única aquella cuyo valor sea quiere conocer, o en su defecto escriba dos ecuaciones con dos incógnitas.
5.Derive con respecto a la variable a que se refiere el punto anterior.
6. Iguale a cero la expresión obtenida para hallar los puntos críticos.
7. Si es necesario, realice pruebas mediante el criterio de la segunda derivada para obtener la solución del problema.

LOGROS
El estudiante alcanzará sus logros si:
• Construye soluciones de problemas a través del cálculo diferencial.
• Visualiza yrepresenta gráficamente el concepto de derivada.
• Realiza análisis y resuelve problemas de optimización.
• Utiliza el computador para graficar la función que desea optimizar.
• Desarrolla actitudes positivas hacia los usos de la tecnología que apoyan el aprendizaje continuado, la colaboración, las búsquedas personales y la productividad.
ACTIVIDAD 1

Lea y analice cuidadosamente lossiguientes ejemplos:

EJEMPLO 1

Encuentre dos números positivos cuya suma sea 20 y cuyo producto sea lo más grande posible (máximo).

Solución:

Sea x uno de los números, entonces el otro es 20 – x

Su producto es: (Función a maximizar)

Como ambos números son positivos entonces x debe estar entre 0 y 20, de manera que estamos buscando el máximo absoluto de f en el intervalo [0,20]Derivamos la función:



Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos:

de tal manera que (Punto crítico)

Los valores extremos absolutos se presentan en los puntos críticos o en los extremos del intervalo.

Al evaluar la función en tenemos:

Ahora evaluemos en



De tal manera que el punto mas alto esta en (este valor maximiza la función).

Respuesta: Losnúmeros buscados son iguales a 10.

Veamos la solución gráfica:



EJEMPLO 2

Se quiere inscribir un rectángulo dentro de un semicírculo de radio 2. ¿Cuál es el área más grande que puede tener el rectángulo y cuáles son sus dimensiones?


Según se muestra en la figura tenemos:

Largo del rectángulo: 2x

Altura:

La función a maximizar es el área del rectángulo, es decir,...