Composición de funciones

Derivada de la función compuesta

Regla de la cadena

Ejemplos de derivadas compuestas

Derivada de la función inversa
Si f y g son funciones inversas, es decir . Entonces

Derivar, usandola derivada de la función inversa: y = arc sen x

Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc tg x

Derivada de la función potencial-exponencial
Estas funciones son del tipo:Para derivarla se puede utilizar esta fórmula:

O bien tomamos logaritmos y derivamos:
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Derivar tomando logaritmos:
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Derivadas sucesivas
Si derivamos la derivada de unafunción, derivada primera, obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x).
Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x).
Si derivamos otra vez obtenemos la cuartaderivada f'v y así sucesivamente.
Calcula las derivadas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª de:

Derivada enésima
En algunos casos, podemos encontrar una fórmula general para cualquiera de las derivadas sucesivas (ypara todas ellas). Esta fórmula recibe el nombre de derivada enésima, f'n(x).

Calcula la derivada enésima de:

Derivación implícita
Funciones implícitas
Una correspondencia o una función estádefinida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.
Derivadas de funcionesimplícitas
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:
x'=1.
En general y'≠1.Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:

 
 
Diferencial de una función
Sea f(x) una funciónderivable. Diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h. Se representa por dy.

La diferencial en un punto representa el incremento...