Conceptos básicos

Conceptos básicos
Para toda función podemos definir:
Dominio
El dominio de es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los elementos para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien y está definido por:

Recorrido o codominio
El recorrido o conjunto de llegada de es el conjunto y se denota o bien
RangoEl rango de está formada por los valores que alcanza la misma. Es el conjunto de todos los objetos transformados, se denota o bien y está definida por:

Preimagen
Una preimagen de un es algún tal que
Note que , y que algunos elementos del recorrido pueden no ser imagen de ningún elemento del dominio. En efecto, puede darse que tal que
Ejemplos
• La función definida por , tienecomo dominio e imagen todos los números reales

Función con Dominio X y Codominio Y
• Para la función , en cambio, si bien su dominio es , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.
• En la figura se puede apreciar una función , con


Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento ade Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,

Esta función representada como relación, queda:
Representación de funciones
Las funciones se pueden representar de distintas maneras:
• Como expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x), que permiten representar el comportamiento de la función a lo largo de todo su dominio.
Ejemplo: y=x+2.
• Comotabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.
Ejemplo:
X| -2 -1 0 1 2 3
Y| 0 1 2 3 4 5
• Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.
Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)}
• Como proposición: una descripción por comprensión de lo que hace la función.
Ejemplo: "Para todo x, número entero, yvale x más dos unidades".
• Como gráfica: gráfica que permite visualizar tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.
Ejemplo:
5 X
4 X
3 X
2 X
1 X
0 X
y / x -2 -1 0 1 2 3
Funciones según tipo de aplicación
Dados dos conjuntos X e Y, podemos clasificar a todas lasfunciones definidas entre ellos, en:
Función inyectiva
Aquellas en que a cada imagen le corresponde un único origen. Formalmente,
o lo que es lo mismo,

Función sobreyectiva
Aquellas en que la aplicación es sobre todo el codominio, es decir, cuando el conjunto imagen . Esto significa que todo elemento del codominio tiene un origen. Formalmente,

Estas funciones también se conocencomo exhaustivas o epiyectivas.
Función biyectiva
Aquellas que son al mismo tiempo inyectivas y sobreyectivas. Formalmente,

Ejemplos

Sobreyectiva, no inyectiva
Inyectiva, no sobreyectiva
Biyectiva
No sobreyectiva, no inyectiva
Álgebra de las funciones
Composición de funciones
Artículo principal: Función compuesta
Dadas dos funciones f: A → B y g: B → C, donde la imagen de festá contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ο f ): A → C como (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de A.


Función identidad
Artículo principal: Función identidad
Dado un conjunto , la función que asigna a cada de el mismo de se denomina función identidad o función unitaria.

Dada cualquier función , es claro que es igual a y que es tambiénigual a , puesto que para todo y también

Función inversa
Artículo principal: función inversa
Dada una función , se denomina función inversa de , a la función que cumple la siguiente condición:


Si existe una función que cumpla esas dos condiciones, ser inversa por la izquierda y ser inversa por la derecha, se demuestra que esa función es única. Eso justifica la notación , que...