Conceptos de algebra i

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I. SISTEMA AXIOMÁTICO
1.1 TÉRMINOS NO DEFINIDOS: conceptos primitivos
* el punto
* la recta
* conjunto pertenencia
* elemento
1.2 TÉRMINOS DEFINIDOS
* segmento
* axioma: no necesita demostración
Términos no definidos + términos definidos = axiomas
1.3 axiomas
1.4 teoremas

CONSTRUCCIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES
SISTEMAAXIOMÁTICO DE PEANO
A) Términos no definidos (conceptos primitivos)
a.1) un conjunto de los números naturales
a.2) un objeto cuya representación es 1
a.3) una relación binaria
B) Axiomas
b.1) 1 ∈ N
B.2) SI n ∈ N → s(n) ∈ N
b.3) SI n ∈ N → s(n) ≠ 1
b.4) ∀n,m ∈ N/ si s(n) = s(m) → n=m s: N →N inyectiva
b.5) Principio De Inducción Matemática
Sea A ∈ N se cumple que
i) 1∈ A
ii) Si n ∈ A → s(n) ∈ A A= N
c) definición de la adición
α: N2 →N
a,b→(a+b)
i) ∀n∈N /αn,1=n+1=s(n)
ii) ∀n, m∈N /αm,sn=m+sn= s(m+n)
TEOREMAS
1) La asociativa se cumple en los números naturales:
∀a, b,c∈N /a+b+c=a+(b+c)
A= {a,b,c∈N / (a+b)+c= a+(b+c)}
I) C=1 (a+b)+1 = a+(b+1)
S(a+b)………………………………… def. adición
a +s(b)…….………………………….. def. adición
a + (b+1)…………………...………. def. adición
ii) C = k (a+b)+k = a+(b+k)………………………….……………………..hipótesis
C= s(k) (a+b)+ s(k)= a+(b+s(k))
s[(a+b)+k]………………………. Def. adición
s[a+(b+k)]………………………. Hipótesis
a+(s(b+k))……………………….. def. adicióna+(b+s(k))……………………….. def. adición

2) la conmutativa se cumple en los números naturales
∀a,b ∈N/ a+b = b+a
A= {a,b ∈ N/ a+b = b+a}
i) a= 1 1+b = b+1
ii) a = k k+b = b+k……………...……………..hipótesis
a= s(k) s(k)+ b= b+s(k)(k+1)+b………………………. Def. Adición
K+(1+b) ………….……………. asociativa
K + (b+1) …………………..Hipótesis (paso i)
(K+b)+1 ……...………………….. Asociativa
(b+k) +1 ……………………...…….. Hipótesis
b+(k+1) …………..………...……..Asociativa
b+s(k) …………………......……. Def. Adición
A=N
3) LA CANCELATIVA SE CUMPLE EN LOS NUMEROS NATURALES

∀a,b,c ∈N/ a+c = b+c →a=b
i) c= 1 a+1 = b+1
ii) c= k a+k = b+k………………………..hipótesis
c= s(k)s(a+k)…………………………. Def. adición
s(b+k)……………………………. hipotesis
b+s(k) ………………………….… Def. adición

4) La clausura se cumple en los números naturales
a+b = c
i) b= 1
ii) b=k a+k = c c ϵ N
b= s(k) a+s(k)
s(a+k) ……………………………..……..def. adicións(c)……………………... Hipótesis (falta desarrollar)
APLICACIÓN:
1) encontrar: 3+6 → s(2) = 3

3+(5+1)
3+ s(5)
S(3+5)
S(3+s(4))
S(s(3+4))
S(s(3 + s (3)))
S(s(s(3+3)))
S(s(s(3+s(2))))
S(s(s(s(3+2))))
S(s(s(s(3+s(1)))))
S(s(s(s(s(3+1)))))
S(s(s(s(s(s(3))))))
S(s(s(s(s(4)))))
S(s(s(s(5))))
S(s(s(6)))
S(s(7))
S(8)
9
Multiplicación
α : N2 → N
(a,b) → a.b
i)∀n∈ N/ (n,1) = n.1 = n
ii) ∀m,n ∈ N/(m, s(n)) = m.s(n) = m.n + m = m.(n+1)
= m.n+m
= m.(n+1)
Teoremas
* El producto de dos números naturales es otro número natural
∀n,m ∈ N/ (n,m) ∈ N
i) m = 1 n.1 ∈ N
ii) m= k n.k ∈ N
m = s(k)...
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