Condiciones De Frontera

2.2.5. CONDICIONES DE FRONTERA PARA LOS CAMPOS ELÉCTRICOS.
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Ahora que ya se conoce el tratamiento del campo eléctrico en medios materiales, resulta necesario establecer el comportamiento del campo eléctrico [pic]
y del vector desplazamiento eléctrico [pic]
en puntos próximos a una superficie que separa dos medios dieléctricosdistintos.
Sean ambos medios definidos por sus permitividades eléctricas 1 y 2, o bien, en términos de sus constantes dieléctricas K1 y K2. En el medio 1 está definido un campo eléctrico [pic]
y un vector desplazamiento dieléctrico [pic]
, y que se relacionan linealmente según [pic]
; similar situación se observa en el medio dieléctrico 2, con [pic]
. Para establecer el comportamiento de estoscampos, se utiliza la ley de Gauss( [pic]
) y la expresión de la circulación del campo eléctrico a lo largo de una curva cerrada( [pic]
).
Con el empleo de la ley de Gauss se obtiene información acerca de la componente normal de los campos; en efecto, si se elige como superficie gaussiana un cilindro con su eje perpendicular a la superficie interfacial ( ver figura 3.5) y cuyo manto tiene unalongitud infinitamente pequeña, entonces sólo existirá flujo a través de las tapas del cilindro gaussiana; si son los respectivos versores áreas de las tapas, se tiene que:
[pic]
donde las áreas de la tapas y el área de la carga encerrada por la gaussiana son iguales, y por lo tanto,
[pic]
(3.13)
y se concluye que la componente normal del vector desplazamiento eléctrico es discontinua en lafrontera. Ahora bien, si en la superficie interfacial no existe carga eléctrica libre( [pic]
) , entonces:
[pic]
(3.14)
y se observa entonces una continuidad de la componente normal del vector desplazamiento eléctrico. A su vez, la componente normal del campo eléctrico satisface la siguiente relación:
[pic]
Para averiguar el comportamiento de la componente tangencial, se elige como curva decirculación un rectángulo con aristas paralelas al superficie interfacial( ver figura 3.6), y con las aristas perpendiculares a la superficie infinitamente pequeñas, de modo tal que no haya contribución a la circulación del campo eléctrico en esos tramos; entonces,
[pic]
y como el tramo de integración es el mismo y no nulo, se tiene que,
[pic]
(3.15)
es decir, la componente tangencial del campoeléctrico es continua al pasar del medio dieléctrico 1 al medio dieléctrico 2. En consecuencia, la componente tangencial del vector desplazamiento eléctrico satisface la siguiente relación:
[pic]
EJEMPLO 3.1. Una esfera conductora de radio 3R, centrada en el origen del sistema de referencia, está rodeada de un dieléctrico de permitividad y que se extiende hasta el infinito. Se sabe que elpotencial eléctrico en el punto P de coordenadas [pic]
vale [pic]
. Determine:
• La carga sobre la esfera conductora.
• La densidad de carga de polarización en r = 3R.
SOLUCION: a) Dado que el punto P está a una distancia radial r " 0,42R del centro de la esfera conductora, se tiene entonces que,
[pic]
siendo [pic]
Se necesita conocer el campo eléctrico en la región exterior a la esferaconductora. Como es una región de dieléctrico, se aplica la ley de Gauss para dieléctricos tomando como superficie gaussiana una esfera concéntrica de radio r, entonces:
[pic]
donde [pic]
es la superficie de la gaussiana y Q es la carga de la esfera conductora. Por lo tanto, de la relación [pic]
se obtiene la función campo eléctrico en la región requerida,
[pic]
se reemplaza en la expresión delpotencial eléctrico,
[pic]
y resolviendo la integral se tiene,
[pic]
• De la relación (3.4) se deduce que [pic]
, dado que el vector polarización es normal a la superficie esférica de radio 3R. Pero, además, [pic]
, con lo cual se obtiene:
[pic]
e introduciendo el valor de la carga Q da finalmente,
[pic]
EJEMPLO 3.2. Un cilindro hueco, de radio interno R y externo 3R, infinitamente...