Congruencia De Triangulos
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CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Dos figuras geométricas son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma.
DEFINICIÓN:
Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes, lo mismo
que sus ángulos.
Si ABC
DEF , entonces:
AB FD; AC DE; BC FE
A D; B F ; C E
Lados correspondientes son los que se oponen a ánguloscongruentes y viceversa.
Hay seis condiciones, que se pueden reducir a 3 mediante teoremas. Antes de demostrar los
teoremas se da el siguiente postulado
POSTULADO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. POSTULADO LADO – ANGULO –
LADO (L – A – L)
Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo que forman en uno, son
respectivamente congruentes a los dos lados y el ángulo que forman en el otro.
SiAB DF ; BC FE; B F
Entonces ABC
DEF
DEFINICIÓN: Un corolario es una proposición que no necesita prueba particular, sino que
se deduce fácilmente de lo demostrado antes.
TEOREMA: (COROLARIO DEL POSTULADO ANTERIOR)
Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos congruentes, entonces son congruentes.
AB
DE; BC
EF
ABC
DEF
Congruencia de triángulos.
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TEOREMA
Entodo triangulo isósceles los ángulos de la base son congruentes
HIPÓTESIS:
ABC es isósceles con CA CB
TESIS: CAB
RAZÓN
1. En C A se toma un punto D y en C B se
toma un punto E, tal que CD CE
2. Trazamos DB y AE
3. CA CB
4. CD CE
5. C C
6. CAE
CBD
7. CAE CBD
AFIRMACIÓN
1. Postulado de construcción de segmentos
2. Dos puntos determinan un segmento
3. Dehipótesis
4. De 1. Construcción.
5. Propiedad reflexiva
6. L – A – L. De 3, 4, 5
7. De 6. Ángulos correspondientes en
triángulos congruentes.
8. De 1
8. CD CE
9. CA + AD = CB + BE
10. CA + AD = CA + BE
BE
12. CDB CEA; DB
CBA
9. De 8. Adición de segmentos
10. Sustitución de 3 en 9
11. De 10. La ley cancelativa
11. AD
12. De 6. Partes correspondientes de
triánguloscongruentes
13. De 11 y 12. L – A – L
13. ABD
EAB
14. De 13. Ángulos correspondientes en
14. EAB DBA
triángulos congruentes.
15. De 14 y 7. Resta de ángulos.
15. CAB CBA
NOTA: Este teorema también se puede enunciar así: Si dos lados de un triangulo son
congruentes entonces los ángulos opuestos a ellos son congruentes.
COROLARIO:
En un triangulo equilátero sus ángulos soncongruentes, es decir es equiángulo.
AE
HIPÓTESIS:
ABC es un triángulo equilátero
TESIS: A
B
C
Congruencia de triángulos.
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TEOREMA
En todo triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es mediana, altura y
pertenece a la mediatriz de la base.
HIPÓTESIS: C D es la bisectriz de ACB
ABC es isósceles con CA CB
A–D–B
TESIS: C D es mediana, altura y pertenecea la mediatriz.
1. C A
2. 1
CB
2
3. CD CD
1. De hipótesis.
CDA
CDB
5. AD DB
4. De 1, 2 y 3. Postulado L – A – L
5. De 4. Por ser lados correspondientes en
triángulos congruentes.
6. De 5. Definición de punto medio
4.
6. D punto medio de AB
7. C D es mediana
8. CDA CDB
9. m ( CDA) + m ( CDB) = 180º
10. m ( CDA) + m ( CDA) = 180º
11. 2m ( CDA) = 180º,m ( CDA) = 90º
12. CD
AB
13. C D es altura
14. C D es mediatriz
2. De hipótesis. Definición de bisectriz.
3. Propiedad reflexiva
7. De 6. Definición de mediana
8. De 4, por ser ángulos correspondientes en
triángulos congruentes.
9. De hipótesis A – D – B. Forman un par
lineal
10. Sustitución de 8 en 9.
11. De 10. Propiedad de los Reales
12. De 11. Definición deperpendicularidad
13. De 12. Definición de altura
14. De 12 y 6. Definición de mediatriz.
NOTA: Se demuestra también que si en un triangulo, una altura es mediana o bisectriz
entonces el triangulo es isósceles. Que es el RECIPROCO del teorema anterior.
Demuéstrelo.
TEOREMA DE CONGRUENCIA. ANGULO LADO ANGULO (A – L – A)
Si dos triángulos tienen un lado congruente, adyacente a dos ángulos...
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