Congruencia De Los Triangulos

Congruencia de Triángulos
Sobre la noción de congruencia de triángulos

Igualdad y congruencia

El concepto de congruencia está emparentado con el de igualdad y se espera que el aprendiz conozca ésta, ya sea por su significado intuitivo a partir del lenguaje natural, o bien a través de su uso en la aritmética. Es costumbre que en geometría se hable de congruencia en vez de igualdad. Porejemplo dos segmentos son congruentes si y sólo si tienen la misma medida –y lo mismo es cierto para ángulos. Pero en el caso de dos triángulos la definición es más complicada pues no hay una medida (número) que defina a un triángulo.

El triángulo como configuración de puntos y rectas

Como se sabe, hay diversas clasificaciones de triángulos que dan cuenta de su diversidad de forma: de acuerdoa la medida de sus ángulos pueden ser obtusángulos, rectángulos, acutángulos; de acuerdo a la relación de las medidas de sus lados pueden ser equiláteros, isósceles, escalenos. Es por eso que una noción previa a la definición de congruencia de triángulos es la de correspondencia. Y esto porque un triángulo (y cualquier polígono) es una configuración que consiste de puntos y segmentos de recta(lados) que unen pares de puntos.

Congruencia de triángulos como noción intuitiva y su formalización

Después de haber descubierto el hecho de que dos triángulos son congruentes (iguales) es conveniente poner sus vértices en correspondencia. Decir que el triángulo ABC está en correspondencia con el IJK significa que la correspondencia entre sus vértices es A-I, B-J y C-K. Y en estacorrespondencia queda implícita la correspondencia entre sus lados: AB-IJ, BC-JK y CA-KI. Pero también queda implícita la correspondencia entre sus ángulos: el ángulo en A es congruente con el ángulo en I, etc. (Nota: no todos los textos siguen esta convención, es decir, aun cuando afirmen “ABC está en correspondencia con IJK” no respetan las reglas anteriores de las correspondencias implícitas –una lástima…pero qué se le va a hacer.)

Y cuando digo “descubierto” quiero decir que el cognizador descubre la congruencia por métodos intuitivos e informales, o quizá sea mejor decir, “la ve”. Pero una vez que “ve” la congruencia es conveniente formalizarla. Es conveniente porque una vez establecida la correspondencia y la congruencia, en la forma en que se explica arriba, ya no es necesario ver la figurapara plantear ecuaciones o razones, pues las correspondencias entre vértices y lados quedan implícitas en la correspondencia entre los triángulos como ya se explicó.

Para poder ver la congruencia es necesario buscarla, es decir, algo (una frase, un dato,…) en el enunciado del problema debe sugerir que se puede usar congruencia para su solución. Y para encontrarla, una vez que se está buscando,es conveniente usar la definición intuitiva: dos triángulos son congruentes si pueden hacerse coincidir uno sobre el otro mediante giros, traslaciones y/o reflexiones. (La definición formal es: dos triángulos son congruentes si, en la correspondencia entre sus vértices, resultan iguales los lados correspondientes y los ángulos correspondientes.) En una congruencia de triángulos entonces se tienenseis igualdades, tres lados y tres ángulos. Es por eso muy útil tener criterios que nos digan si dos triángulos son congruentes sin tener que verificar las seis igualdades.

Criterios de congruencia como postulados

El criterio (principio) de congruencia más básico es posiblemente el denominado criterio LAL (lado-ángulo-lado) que nos dice que si, en una correspondencia de triángulos, dos ladosde uno y el ángulo comprendido entre ellos son iguales a sus correspondientes elementos en el otro, entonces los dos triángulos son congruentes. Algunos textos de geometría –los más formales, en el sentido lógico— toman este criterio como axioma y demuestran los dos restantes, el ALA y el LLL. Otros textos –la mayoría— postulan como verdaderos los tres criterios. Es recomendable entonces que el...