CONICAS SECCIONES

Círculo

Elipse (h)

Parábola (h)

Hipérbola (h)

Elipse (v)

Parábola (v)

Hipérbola (v)

Definición:
Una sección cónica
es la intersección
de un plano y un
cono.

Cambiando el ángulo y el lugar de la interseccón, podemos crear un círculo, un
elipse, una parábola o una hipérbola; o en el caso especial cuando el plano se
pone en contacto con el vértice: un punto, una línea o 2 líneasintersectadas.

Punto

Línea

Línea Doble

La Ecuación General de una sección cónica:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

El tipo de sección puede ser descubierta por el signo de: B2 - 4AC
Si B2 - 4AC es... pues la curva es...
<0
un elipse, un círculo, un punto o ninguna curva.
=0
una parábola, 2 líneas paralelas, 1 línea o ninguna curva.
>0
una hipérbola o 2 líneas intersectadas.

Las Secciones Cónicas.Para, en cada uno de los abajo mencionados casos,
lograr un centro (j, k) en vez de (0, 0), reponga cada término x con un (x-j) y
cada témino y con un (y-k).

Ecuación (vértice
horizontal):

Círculo

Elipse

Parábola

x2 + y2 = r2

x2 / a2 + y2 / b2 = 1 4px = y2

Ecuaciones de las
asíntotas:
Ecuación (vértice
vertical):

x2 / a2 - y2 / b2 = 1
y = ± (b/a)x

x2 + y2 = r2

y2 / a2 + x2 / b2 = 1 4py = x2Ecuaciones de las
asíntotas:

y2 / a2 - x2 / b2 = 1
x = ± (b/a)y

Variables:

r = el radio
del círculo

Excentricidad:

0

El Relación al Foco:

Hipérbola

p=0

a = el radio mayor
(= 1/2 la longitud
del eje mayor)
b = el radio menor
(= 1/2 la longitud
del eje menor)
c = la distancia
desde el centre al
foco

2

2

2

a -b =c

Definición: es el conjunto la distancia al la suma del las
de todos lospuntos que
origen es
distancias a cada
cumple la condición...
constante
foco es constante

p = la distancia
desde el vértice al
foco (o a la
directriz)

a = 1/2 la longitud
del eje mayor
b = 1/2 la longitud
del eje menor
c = la distancia
desde el centro al
foco

c/a

c/a

p=p

a2 + b2 = c2

la distancia al foco la diferencia entre
= la distancia a la las distancias a cada
directriz
foco esconstante

La Elipse

La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no
sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.

También podemos decir que la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las
distancias a dos puntos fijos llamados focos es unaconstante positiva (ver figura). La Elipse es una curva
cerrada.






5.1. Elementos de la elipse:
Focos
Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario
Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro
Es el punto de intersección de los ejes.




Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
Centro de Simetría
Coincide con el centro dela elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
Relación entre la distancia focal y los semiejes

5.2. Excentricidad (e)
La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

5.3. Ecuación Reducida de la Elipse

Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de
coordenadas. Lascoordenadas de los focos son: F'(-c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la elipse cumple:
Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

5.4. Ecuación reducida de la elipse con los focos en el eje OY

Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:

Las coordenadas de los focos son:

Ecuación de la Elipse



Donde A y B tienen el mismo signo.
Ecuación dela Elipse de Eje Vertical

Donde A y B tienen el mismo signo.

La Circunferencia

También podemos llamar circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo llamado centro (ver figura). La circunferencia es un caso particular de elipse.



Ecuación de la Circunferencia
La ecuación anterior elevamos al cuadrado obtenemos la ecuación:
Si desarrollamos:
y...