secciones conicas

Secciones cónicas
Las secciones cónicas fueron inventadas por el filósofo griego Menecmo, aproximadamente en el año 350 a. de C. al tratar de “duplicar el cubo” uno de los problemas clásicosgriegos. Menecmo describió las secciones cónicas como la intersección de un cono con un plano que forma ángulo recto con un lado del cono.
Los nombres de las cónicas fueron dados por Apolonio dePerga (S. III –S.II a. de C.), matemático griego: hipérbola del gr. ὑπερβολή (“exceso”), parábola del gr. παραβολή (“aplicación”) y elipse del gr. ἔλλειψις (“defecto”)

Para toda cónica existe unaecuación que la representa, ya sea una hipérbola, elipse o parábola, dicha ecuación es la siguiente:

De la anterior ecuación A, B y C no pueden ser cero a la vez, esto debido a que se convertiría en laecuación de la línea recta.
De esta misma ecuación se puede derivar otra que permite trabajar ya sea para una parábola, una elipse o una hipérbola. Para ello se tomará el teorema 6.6. y losejemplos descritos por en la pp. 214-215:
Si la ecuación

Se transforma en la ecuación


Mediante un giro de ejes, entonces se tiene que

Esto es, es invariante bajo rotaciones.
Si la anteriorecuación arroja un resultado positivo representa una hipérbola, si es cero será una parábola y si es negativo es una elipse.

Elipse
La elipse se trata de una curva cerrada que se obtiene al cortaruna superficie cónica de eje e y ángulo α mediante un plano, P, que no pasa por el vértice y que corta a e bajo un ángulo β mayor que α, pero menor de 90º (α o es una elipse centrada en el origen. Lalongitud del eje mayor es 2a y la longitud del eje menor es 2b. Los focos se encuentran a la distancia c del origen y se cumple que .
Los ecuaciones también se pueden escribir como (formaestándar) o bien
Donde p y q son positivos. Si p>q, el eje mayor esta sobre el eje X. Si p 0. Al parecer la ecuación representa a una elipse. Pero al completar el cuadrado llegamos a



Como...