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LAS C´ONICAS Y SUS APLICACIONES
Pedro Alegr´ıa (pedro.alegria@ehu.es)
Adem´as de las rectas, c´ırculos, planos y esferas que conoce cualquier estudiante de Euclides, los griegos sab´ıan las propiedades de las curvas que se obtienen al cortar un cono con un plano: la elipse, la par´abola y la hip´erbola. Kepler descubri´o al analizar sus observaciones astron´omicas -y Newton lo demostr´omatem´aticamente sobre la base de la ley universal de la gravitaci´on- que los planetas describen elipses. As´ı se hizo de la geometr´ıa de la Grecia antigua piedra angular de la astronom´ıa moderna.
´INDICE
1. Origen de las c´onicas.
2. Distintas definiciones de c´onica.
3. Construcci´on de c´onicas.
4. Propiedades reflexivas.
5. Los ´ovalos.
6. Clasificaci´on de una c´onica.
7. Propiedades varias.8. C´onicas en la vida real.
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J. L. Synge (1897-1995)

1. ORIGEN DE LAS C´ONICAS.
Como ha sucedido en numerosas ocasiones, importantes creaciones en matem´aticas no tuvieron un origen que pronosticara su relevancia posterior. Uno de estos casos es el de las conocid´ısimas c´onicas, en un principio estudiadas casi por simple diversi´on, pero de tan variadas aplicaciones en muchas ramas de laciencia. Como es sabido, fue Apollonius de Perga, en el siglo III a.C. el primero que las introdujo p´ublicamente, escribiendo el m´as importante tratado antiguo sobre las secciones c´onicas, aunque ya en el siglo anterior Menaechmus hab´ıa escrito el primer tratado sobre c´onicas. Lo que no es tan conocido es que el motivo que origin´o esta craci´on no fue precisamente el de explicar las´orbitas de los planetas ni construir aparatos de radar, sino el de buscar soluciones s´olo con regla y comp´as de los tres famosos problemas griegos que hoy sabemos irresolubles, como son el de la duplicaci´on del cubo, la trisecci´on del ´angulo y la cuadratura del c´ırculo.
Durante muchos siglos, las c´onicas fueron descartadas en los trabajos de los matem´aticos hasta que volvieron s´ubitamente a lavida, al comprobarse que el mundo que nos rodea est´a lleno de secciones c´onicas. En la elipse encontr´o Kepler la respuesta al enigma del movimiento planetario, descubriendo que el planeta Marte (ahora sabemos que al igual que el resto de los planetas) tiene ´orbitas el´ıpticas y el sol est´a situado en uno de sus focos (de ah´ı el nombre dado a estos puntos). En base a este descubrimientoNewton enunci´o la famosa ley de la gravitaci´on universal; as´ı el descubrimiento de Kepler se deduce como consecuencia matem´atica de dicha ley. Tambi´en los sat´elites y los cometas tienen ´orbitas el´ıpticas, de mayor o menor excentricidad, lo cual es es en cierto modo providencial, pues si se tratara de hip´erbolas o par´abolas, no volver´ıan a repetir su ciclo. As´ı mismo, Galileo demostr´o quelas trayectorias de los proyectiles son parab´olicas.
1.1. Trisecci´on de un ´angulo.
Hoy en d´ıa, la propiedad menos importante de estas curvas, en vista de su utilidad para el mundo matem´atico, es precisamente que cierto par de par´abolas permite la duplicaci´on del cubo y cierta hip´erbola permite trisecar un ´angulo. Como la belleza no est´a re˜nida con el inter´es, veremos con ciertodetalle esta ´ultima construcci´on, desechada por los mismos griegos, debido a que las mismas c´onicas no se pueden construir con regla y comp´as.
Sea α un ´angulo arbitrario. Se construye la circunferencia de centro O y radio OA = OB de modo que \AOB = α. Sea la recta OC bisectriz de α. Con OC como directriz y B como foco, se
construye una rama de hip´erbola de excentricidad e = 2. Sea P el punto deintersecci´on de la hip´erbola con el arco de circunferencia AB. An´alogamente se obtiene el punto P 0 utilizando A como foco.

1.2. Duplicaci´on del cubo.
La leyenda afirma que el rey Minos de Creta hab´ıa ordenado erigir a su hijo una tumba en forma de cubo y que, por negligencia del constructor, result´o demasiado peque˜na. Hubo necesidad de demoler el cubo de m´armol de 100 pies de...