Conicas

Ecuación general de la circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

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Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

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Si desarrollamos:

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y realizamos estos cambios:

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Obtenemos otraforma de escribir la ecuación:

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Donde el centro es:

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y el radio cumple la relación:

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Para que una expresión del tipo: [pic] sea una circunferencia debe cumplir que:

1. Los coeficientes de x2 e y2 sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términosde la ecuación.

2. No tenga término en xy.

3. [pic]

Ecuación reducida de la circunferencia

Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:

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Ejercicios

Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

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Dadala circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.

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Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3).

Si sustituimos x e y en la ecuación [pic] por las coordenadas de los puntos se obtiene el sistema:

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Indicar si laecuación: 4x2 + 4y2 - 4x - 8y - 11 = 0, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.

1. Como los coeficientes de x2 e y2 son distintos a la unidad, dividimos por 4:

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2. No tiene término en xy.

3. [pic]

Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones.

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[pic]Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas.

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Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.

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Calcula laecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.

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Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación [pic], y que pasa por el punto (-3,4).

Por ser concéntricas tienen el mismocentro.

 

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Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

 

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[pic]Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia [pic] que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.

 

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Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.

 

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Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0,-3), cuyo radio es [pic] y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

 

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