conicas

C´nicas
o
Las c´nicas son curvas planas llamadas elipse, par´bola e hip´rbola, que se pueden
o
a
e
definir de diversas maneras. Como caso particular, tambi´n tenemos la circunferencia.
e
El m´todo m´s antiguo y por el cual reciben el nombre de c´nicas, se remonta al
e
a
o
siglo III a.c., consiste en considerarlas como intersecciones de un cono circular recto
con un plano que no pasapor el v´rtice (Fig. 1). Seg´n la posici´n del plano con el
e
u
o
cual se corta, se obtiene una u otra de las tres clases de c´nicas. Se pueden obtener
o
varias formas l´
ımites, una circunferencia, un punto, rectas que se intersectan, una
recta.

Figura 1: Corte de un cono, con diferentes planos.
El matem´tico griego Menecmo descubri´ estas curvas y Apolonio de Perga, otro
a
omatem´tico griego, escribi´ el libro “C´nicas” un estudio detallado de ellas.
a
o
o
Las c´nicas son las curvas m´s simples despu´s de las rectas. Su consideraci´n
o
a
e
o
es necesaria en el estudio de muchos fen´menos naturales como por ejemplo en las
o
trayectorias de los planetas o de los sat´lites y de los proyectiles en el vac´
e
ıo.
En este apunte vamos a definirlas por medio de suspropiedades m´tricas, pero
e
antes recordemos que dados dos puntos del plano P (x1 , y1) y Q(x2, y2), la distancia
entre ellos est´ dada por
a
d(P, Q) =

(x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2.

1

1

Elipse

Una elipse es el conjunto de puntos del plano para los cuales la suma de las distancias
d1 y d2 a dos puntos distintos y fijos F1 y F2, llamados focos, es un valor constante
y mayor que ladistancia entre los focos.

Figura 2: Gr´fico de una elipse.
a
El punto medio del segmento F1 F2 se llama centro de la elipse. Observemos que
la elipse es sim´trica con respecto a la recta que une los focos y a su perpendicular
e
que pasa por el centro.
En la figura 3 se muestra un procedimiento para trazar una elipse: sobre un
terreno clavamos dos estacas en F1 y F2 y consideremos una cuerdaC cuyos extremos
est´n fijos a F1 y F2 . Desplazando el punz´n P , manteniendo tensa la cuerda,
a
o
obtenemos una elipse.

Figura 3: Procedimiento para trazar una elipse.
Hallemos la ecuaci´n de la elipse. Para simplificar, supongamos que F1 = (−c, 0),
o
F2 = (c, 0), con c > 0 y llamemos a la contante 2a, con a > 0. Un punto P = (x, y )
pertenece a la elipse cuando satisface la ecuaci´no
d(P, F1 ) + d(P, F2 ) = 2a
o sea
(x + c)2 + (y − 0)2 +

(x − c)2 + (y − 0)2 = 2a.
2

(1)

Ahora, escribamos la ecuaci´n 1 de este modo:
o
(x + c)2 + y 2 = 2a −

(x − c )2 + y 2 ,

y elevando ambos miembros al cuadrado, obtenemos:
(x + c)2 + y 2= 4a2 + (x − c)2 + y 2− 4a (x − c)2 + y 2 ⇒
/
/
x2+ 2cx + /2= 4a2 + x2− 2cx + /2− 4a (x − c)2 + y 2 ⇒
/
c
/
c
a2 − cx = a (x −c)2 + y 2.
Elevando al cuadrado nuevamente tenemos:
a4 − 2a2 cx + c2 x2 = a2 ((x2 − 2cx + c2) + y 2 ) ⇒
a2 (a2 − c2 ) = (a2 − c2 ) x2 + a2y 2.

Como 2a = d(F1 , P ) + d(F2 , P ) ≥ d(F1 , F2) = 2c, resulta que a ≥ c > 0. Luego
a − c2 ≥ 0.
Entonces, si llamamos b2 = a2 − c2 , la ecuaci´n queda en la forma
o
2

x2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b

con a > b > 0.
(2)

Los puntos (a, 0), (−a, 0),(0, b) y (0, −b) son los v´rtices de la elipse y a y b son
e
los semiejes mayor y menor respectivamente.

Figura 4: Elipse.
Si consideramos que los focos est´n sobre el eje y , equidistantes de (0, 0), la
a
ecuaci´n queda
o
3

x2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b

con b > a > 0.
(3)

Y si la elipse est´ centrada en un punto (x0, y0 ), su ecuaci´n es
a
o

(x − x 0 )2 (y − y 0 )2
+
= 1.
a2b2
(4)
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1
4x2 + y 2 = 1 es la ecuaci´n de una elipse:
o
x2
y2
+
= 1.
( 1 )2
1
2
El semieje mayor tiene longitud b = 1 y el semieje menor a = 1/2. Como b > a,
los focos est´n sobre el eje y
a
√
√
3
3
)
y
F2 = (0, −
)
F1 = (0, 12 − (1/2)2 ) = (0,
2
2
1
1
Los v´rtices son: (− 2 , 0), ( 2 , 0), (0, 1), (0, −1) (ver Fig. 5).
e

Figura...