conicas

1. Lloc geomètric:
Definim lloc geomètric com el conjunt de punts que compleixen una certa propietat. Hem de dir que totes les còniques són llocs geomètrics. A continuació alguns exemples.
a) La mediatriu d’un segment AB és el lloc geomètric dels punts, P, que equidisten dels seus extrems.
b) La bisectriu d’un angle format per dues rectes r i s, és el lloc geomètric dels punts, P, queequidisten de r i s.
c) La circumferència i la resta de les còniques també són llocs geomètrics, però ja en parlarem més endavant.
2. Per què s’anomenen còniques?
Les còniques s'anomenen així perquè s'obtenen tallant amb plans uns superfície cònica. Segons la posició relativa del pla i el con, obtindrem els diferents tipus de corbes.
S’obté una el·lipse quan un pla talla un con passant per totesles seves generatrius. Ara bé, si aquest pla és perpendicular al l’eix central del con, obtenim una circumferència.
Es projecta una hipèrbola al intersectar una superfície cònica amb un pla paral·lel a l’eix del con. Per projectar una paràbola hem de tallar un con amb un pla paral·lel a una de les seves generatrius.






3. Història de les còniques:
L’estudi de les còniques s’hadesenvolupat al llarg dels segles. A l’antiguitat, primerament, van ser estudiades per matemàtics grecs i es diu que Menaechmus (350 aC) va descobrir les seccions còniques mentre intentava resoldre el problema de la duplicació d’un cub.
Però no van ser estudiades a fons fins a Apollonius de Perga (225 aC), que va ser el primer a classificar-les en tres tipus, tal i com les coneixem actualment: el·lipse(mancanza), hipèrbola (andare oltre) i paràbola (mettere accanto).  Els seus treballs van tenir una gran influència a l’estudi de les matemàtiques. Apollonius va descriure les còniques com “les corbes formades quan un pla intersecta la superfície d’un con”.
Durant 1800 anys, l’estudi d’aquestes corbes restà pràcticament abandonat. No va ser fins la introducció de les coordenades cartesianes id’interessos científics que es retornà a l’estudi de les còniques. Al segle XVI el filòsof i matemàtic René Descartes va desenvolupar un mètode per relacionar les còniques amb equacions de segon grau mitjançant les variables x i y, el que avui es coneix com a geometria analítica.
El que fa que les còniques siguin les corbes més importants de la física és el fet, descobert per Keppler, que les òrbitesde tots els planetes que giren al voltant del Sol són el·lipses, que tenen el Sol com un dels seus focus. Isaac Newton també va demostrar que la trajectòria de qualsevol cos sotmès a una força gravitatòria és sempre una cònica.
4. Les còniques al món real:





Algunes de les construccions de l’antiguitat tenien forma el·líptica.





Enl’arquitectura moderna s’utilitzen les paràboles, com podem veure en les finestres d’aquest edifici.

També s’utilitzen hipèrboles, vegeu la imatge. Les famoses sínies són exemples de circumferències al món real.
5. La circumferència:
La circumferència de centre C i radi r és el lloc geomètric dels punts, P, la distància dels quals a C és r.
A partir d’aquesta definició podem dir que lacircumferència és el lloc geomètric dels punts tal que la distància entre P i C és igual al radi. Desenvoluparem aquesta expressió per obtenir l’equació de la circumferència.


;
Observem que es tracta d’un polinomi de segon grau en x i y, tal que els coeficients són 1 i no té terme en xy:
Si tenim en compte aquest esquema podrem determinar si una equació donada és una circumferència, i en casafirmatiu calcular-ne el centre i el radi.


Per que l’equació sigui una circumferència el radi al quadrat ha de ser més gran que zero. Ara podem calcular el centre i el radi.

6. L’el·lipse i la hipèrbola:
L’el·lipse és el lloc geomètric del pla format pel punts, tal que la suma de les seves distàncies a dos punts fixes, anomenats focus, és constant.
Els seus elements...