Conicas

Las Cónicas de Apolonio.
Las Cónicas de Apolonio.
 
    Las circunstancias de la composición de la obra de Apolonio están explicadas por él mismo en su primer libro. Así le escribe a Eudemo: "Creo que no habrás olvidado, porque ya te lo he contado antes, que fue a instancias de Naucrates el geómetra, que fue mi huésped durante su estancia en Alejandría, por lo que me introduje en este campo yque, cuando él estaba a punto de embarcarse, me apresuré a ponerle al corriente de lo que había ya elaborado, en ocho libros, sin poner demasiado cuidado en su perfección, sino anotando todo lo que se me ocurría, con la intención de hacer una ulterior revisión. Ahora que he tenido la ocasión de establecer las cosas por sus pasos de una manera adecuada, las publico. Y puesto que sucede que algunosde los que han tratado conmigo han recibido los libros primero y segundo antes de que hubiesen sido revisados, no te extrañes de encontrar en ellos cuestiones tratadas de una manera diferente...".
    Apolonio sabe mucho más de lo que hasta entonces se sabía y de modo mucho mejor organizado. Por ello se decide a publicarlo. El mismo, en este prólogo al libro primero, explica el contenido de laobra bien claramente. Los cuatro primeros libros constituyen una introducción elemental. Debían de constituir materia probablemente ya sabida, pero no organizada como la propone Apolonio. A partir del libro V se exponen los hallazgos más importantes del mismo Apolonio.
        Su indice, con palabras nuestras, se puede proponer más o menos así:
        I.       Modos de obtención y propiedadesfundamentales de las cónicas.
        II.      Diámetros, ejes y asíntotas.
        III.     Teoremas notables y nuevos. Propiedades de los focos.
        IV.     Número de puntos de intersección de cónicas.
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        V.      Segmentos demáxima y mínima distancia a las cónicas. Normal, evouta, centro de curvatura.
        VI.     Igualdad y semejanza de las secciones cónicas. Problema inverso: dada la cónica, hallar el cono.
        VII.    Relaciones métricas sobre diámetros.
        VIII.   (Se desconoce su contenido. Tal vez problemas sobre diámetros conjugados).
    A continuación examinaremos someramente algunos de losdetalles más importantes de los diferentes libros, adelantando solamente que se considera, de modo unánime, el libro V como el mejor y más original de todos.
    El libro I comienza con la generación del cono circular oblicuo de dos hojas que, seccionado por un plano, dará lugar a los diferentes tipos de cónicas. Apolonio ha captado cómo esta consideración de un solo cono permite la obtención de lastres cónicas según la inclinación diversa del plano y además identificará la hipérbola como una curva con dos ramas. En estos puntos importantes se aparta de sus antecesores en el campo, logrando una visión más unitaria y mejor sistematizada del tema.
    Estudia las secciones circulares del cono, paralelas y antiparalelas a la base, introduce el parámetro (p=2b2/a) que llama lado recto, establecelas propiedades de ordenada y abscisa de las cónicas, considera el centro, ejes, diámetros conjugados, tangentes, ... y ataca el problema de construcción de la cónica dados diversos elementos suyos.
    El libro II estudia fundamentalmente las propiedades de las asíntotas de la hipérbola. Caracteriza la asíntota por la distancia PM en función de OP y el parámetro correspondiente (ver figura).
  
Estudia al final el problema importante siguiente: Trazar una tangente que forme un ángulo dado con el diámetro que pasa por el punto de contacto.
    El lenguaje de Apolonio es, por supuesto, un lenguaje sintético, utilizando a la perfección los viejos procedimientos pitagóricos de la aplicación de áreas. Los resultados sin embargo son fácilmente traducibles al lenguaje de la geometría...