Conicas

LAS CÓNICAS Y SUS APLICACIONES


Además de las rectas, círculos, planos y esferas que conoce cualquier estudiante de Euclides, los griegos sabían las propiedades de las curvas que se obtienen al cortar un Cono con un plano: la elipse, la par ‘abola y la hipérbola. Kepler descubrió al analizar Sus observaciones astronómicas -y Newton lo demostró matemáticamente sobre la Base de la leyuniversal de la gravitación- que los planetas describen elipses. Así se Hizo de la geometría de la Grecia antigua piedra angular de la astronomía moderna.
J. L. Synge (1897-1995)
ORIGEN DE LAS CÓNICAS.

Como ha sucedido en numerosas ocasiones, importantes creaciones en matemáticas no tuvieron un origen que pronosticara su relevancia posterior. Uno de estos casos es el de las conocidísimas cónicas, enun principio estudiadas casi por simple diversión, pero de tan variadas aplicaciones en muchas ramas de la ciencia. Como es sabido, fue Apollonius de Perga, en el siglo III a.C. el primero que las introdujo públicamente, escribiendo el más importante tratado antiguo sobre las secciones cónicas, aunque ya en el siglo anterior Menaechmus había escrito el primer tratado sobre cónicas. Lo que no estan conocido es que el motivo que origino esta creación no fue precisamente el de explicar las ´orbitas de los planetas ni construir aparatos de radar, sino el de buscar soluciones solo con regla y compas de los tres famosos problemas griegos que hoy sabemos Irresolubles, como son el de la duplicación del cubo, la trisección del ´Angulo y la cuadratura del círculo Durante muchos siglos, las cónicasfueron descartadas en los trabajos de los matemáticos hasta que volvieron súbitamente a la vida, al comprobarse que el mundo que nos rodea está lleno de secciones cónicas. En la elipse encontró Kepler la respuesta al enigma del movimiento planetario, descubriendo que el planeta Marte (ahora sabemos que al igual que el resto de los planetas) tiene ´orbitas elípticas y el sol está situado en uno desus focos (de ahí el nombre dado a estos puntos). En base a este descubrimiento Newton enuncio la famosa ley de la gravitación universal; así el Descubrimiento de Kepler se deduce como consecuencia matemática de dicha ley. También los satélites y los cometas tienen ´orbitas elípticas, de mayor o menor excentricidad, lo cual es en cierto modo providencial, pues si se tratara de hipérbolas oparábolas, no volverían a repetir su ciclo. Así mismo, Galileo demostró que las trayectorias de los proyectiles son parabólicas

Trisección de un Angulo.

Hoy en día, la propiedad menos importante de estas curvas, en vista de su utilidad para el mundo matemático, es precisamente que cierto par de parábolas permite la duplicación del cubo y cierta hipérbola permite trisecar un ´Angulo. Como labelleza no está reñida con el interés, veremos con cierto detalle esta ´ultima construcción, desechada por los mismos griegos, debido a que las mismas cónicas no se pueden construir con regla y compas. Sea _ un ´Angulo arbitrario. Se construye la circunferencia de centro O y radio OA = OB de modo que\AOB = _. Sea la recta OC bisectriz de _. Con OC como directriz y B como foco, se construye una rama dehipérbola de excentricidad e = 2. Sea P el punto de intersección de la hipérbola con el arco de circunferencia AB. Análogamente se obtiene el punto P0 utilizando A como foco. La situación actual se representa en la figura siguiente:

Por definición de hipérbola, BP = 2PD y AP0 = 2DP0 (ver sección 2.3). Además, debido a La simetría, PD = DP0. En definitiva, resulta que BP = PP0 = P0A y queda asítrisecado el Angulo.

Duplicación del cubo.

La leyenda afirma que el rey Minos de Creta había ordenado erigir a su hijo una tumba en forma De cubo y que, por negligencia del constructor, resultó demasiado pequeña. Hubo necesidad de Demoler el cubo de mármol de 100 pies de arista y sustituirlo por otro de volumen doble. Una segunda leyenda clásica afirma que el oráculo de Delos aconsejo a...