Conicas

CÓNICAS:
Antes de definir lo que es una parábola, circunferencia, hipérbola o elipse, se debe definir qué es una sección cónica y sus elementos:
Superficie: Una superficie cónica está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.
Generatriz: La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
Vértice: El vértice es elpunto central donde se cortan las generatrices.
Hojas: Las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica.
Sección: Se denomina sección cónica a la curva de intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (a) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (b), pueden obtenersediferentes secciones cónicas.

CIRCUNSFERENCIA:
Circunferencia: Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro. 

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA:
CENTRO: Es el punto fijo C, del que equidistan todos los puntos de lacircunferencia.
RADIO: El radio “r”, es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. Es constante
DIAMETRO: Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por su centro. El diámetro mide el doble del radio (d=2r).
Ecuación analítica de la circunferencia: si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas decualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Ya que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2. Llamada canónica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados y obtenemos: x2 + y2 – 2ax –2by –r2 = 0.
ELIPSE:
Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.
ELEMENTOS DE LA ELIPSE:
1. Designamos por F y F' los focos de una elipse.
2. La recta l que pasa por los focos tiene varios nombres; veremos que es conveniente introducir el término de eje focal para designar estarecta.
3. El eje focal corta a la elipse en dos puntos V y V', llamados vértices. La porción del eje focal comprendida entre los vértices, el segmento VV', se llama eje mayor.
4. El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se llama centro.
5. La recta l' que pasa por C y es perpendicular al eje focal l tiene varios nombres; encontraremos conveniente introducir el terminoeje normal para designarla.
6. El eje normal l' corta a la elipse en dos puntos, A y A', y el segmento AA' se llama eje menor.
7. Un segmento tal como BB', que une dos puntos diferentes cualesquiera de la elipse, se llama cuerda. En particular una cuerda que pasa por uno de los focos tal como EE', se llama cuerda focal.
8. Una cuerda focal, tal como LL ', perpendicular al eje focal l se llamalado recto. Evidentemente como la elipse tiene dos focos, tiene también dos lados rectos. Una cuerda que pasa por C tal como DD', se llama un diámetro.
9. Si P es un punto cualquiera de la elipse, los segmentos FP y F'P que une los focos con el punto P se llama radios vectores de P.



Ecuación analítica de la elipse: ubicando a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c,0) y F' (– c,0). Tomamos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' = 2a.   Aplicando Pitágoras tenemos que:
  
Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser: 
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos...