Conicas

LAS CÓNICAS

Facultad de Ingeniería
División de Ciencias Básicas
Academia de Cálculo con Geometría Analítica

Las Cónicas
Pablo García y Colomé

Menecmo (380 - 320 LAS CÓNICAS
a.C.), matemático y
geómetra griego,
discípulo de Platón y
tutor de Alejandro
Magno, descubrió estas
curvas y fue el
matemático griego
Apolonio (262-190 A.C.)
de Perga, quien primero
las estudió
detalladamente. Alconsiderar
intersecciones entre un
cono y un plano, llegó a
la interpretación
geométrica de estas
curvas, lo que se

LAS CÓNICAS

LA CIRCUNFERENCIA
La invención de la rueda
revolucionó la vida
humana. Su primera
representación está
fechada en 3500 a.C en
una placa de arcilla. Fue
encontrada por
arqueólogos en las
ruinas de la ciudadestado de la región de
Ur, actual Irak
La circunferencia inició
con RenéDescartes,

LAS CÓNICAS

r

Es el lugar geométrico en el plano,
formado por todos los puntos que
equidistan de un punto fijo conocido
como centro
2
2
y
2
r  C Q  PQ
C Q   x  h
2

 x  h

2

2

y

PQ   y  k
2

  y  k  r2

2

P  x, y 

2

Cuando el centro
coincide con el origen
su ecuación queda
entonces de la forma
x2  y2  r2

C  h, k

Q  x, k
x

LAS CÓNICAS

Formageneral de la ecuación de la
circunferencia

 x  h

2

  y  k  r2
2

x2  2xh  h2  y2  2yk  k2  r2






x2  y2   2h x   2k y  h2  k2  r2  0
D  2h ; E  2k ; F  h2  k2  r2
x2  y2  Dx  Ey  F  0

LAS CÓNICAS

Ejemplo. Obtener la ecuación de la circunferencia
cuyo radio
y cuyo centro es la intersección
3 es
entre las rectas cuyas ecuaciones son:
x  2y  4  0 y x y  1 0

 x  2y  4  0
; x  2y  4 

 x  y  1 0
 C  2,  1



r3





2y  4  y  1 0  

 x  2



2

y  1
x 2

  y  1  9
2

x2  4x  4  y2  2y  1 9  0  x2  y2  4x  2y  4  0

LAS CÓNICAS

y

x  y  1 0

x  2y  4  0

x

r3

C  2,  1

LAS CÓNICAS

Ejemplo. Dada la ecuación general siguiente que
representa una circunferencia, determinar sucentro, su radio y hacer un trazo aproximado de
su gráfica
15
x2  y2  3x  5y 
0
2
9 9
25 25 15
2
x  3x    y  5y 


0
4 4
4
4
2



2

2

3 
 5
 x  2  y  2

 


2

34 15

 3


 0   x 
4 2

 2


3 5
C  , 
 2 2

; r4

2



5
 y 
2


2

 16



LAS CÓNICAS

2

3 
 5
x


y




2

 
 2

y

2

 16

x

 3 5
C  , 
 2 2

r4LAS CÓNICAS

Ejemplo. Obtener la ecuación de la circunferencia
que pasa por los puntos

 2, 2 ,  0, 2  2

 



3 y 2  2 3, 0

x2  y2  Dx  Ey  F  0

4  4  2D  2E  F  0 

2D  2E  F  8 L

 2  2 3   2  2 3 E  F  0
 2  2 3   2  2 3 D  F  0
2

2

De  2

y

 3

 1

L

 2

L

 3

 2  2 3 E  F   2  2 3 D  F



D E

LAS CÓNICAS

En  1

 2  23   2  2 3 E  8
2

E

8 3  8
2 2 3



E

y en  2

 F  8





4 2  2 3
2 2 3



E

8  4  8 3  12



2 2 3

E  4 y

D  4

x2  y2  Dx  Ey  F  0
x2  y2  4x  4y  8  0 

 x  2   y  2  16
2

2

LAS CÓNICAS

y

 0, 2  2 3 
 2, 2

C  2, 2

r4

 2 2



3, 0

x

LAS CÓNICAS

LA PARÁBOLA
Parábola viene del
griego parabolé,
comparación,semejanza.
Está formada por la
palabra para, al margen
y bolé, arrojar, o sea,
lanzar al margen de algo.
Apolonio argumentó que
si se recibe luz de una
fuente lejana con un
espejo parabólico con los
rayos luminosos
paralelos al eje del

F

LAS CÓNICAS

Se cuenta que
Arquímedes quemó
los barcos romanos al
defender Siracusa con
espejos parabólicos
Actualmente esta
propiedad se utiliza
en radares, antenasde televisión, espejos
solares, estufas, faros
de los automóviles,
micrófonos de largo
alcance

LAS CÓNICAS

Es el conjunto de todos los puntos que se mueven
en un plano de tal forma que su distancia a una
recta fija (L) llamada directriz, es siempre igual a
su distancia a un punto fijo que no pertenece a la
recta y que se llama foco (F)
y

eje
F 0, p 

P  x, y 

 x  0

2

  y  p 

...