conjetura de Goldbach
Páginas: 5 (1212 palabras)
Publicado: 26 de mayo de 2013
Demostración de la conjetura de Goldbach
El 7 de junio de 1742 en una carta dirigida a Leonard Euler, Goldbach redactó:
"Todo número par mayor que dos puede ser expresado como la suma de dos números primos"
Ej.:
4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7 = 5 + 5; 12 = 5 + 7.
De forma algebraica la conjetura de Goldbach se puede expresar como:
P + P" = 2m /m > 1
Pararecordar:
Un número primo es aquel cuyos divisores propios son el mismo número y el uno.
El 2 el único número primo par.
Por definición el 1no es un número primo.
Poderosos ordenadores han confirmado la conjetura para valores muy grandes, pero eso no es una prueba fehaciente como para considerarla una demostración. Para que la conjetura pueda considerarse un teorema se debe encontrar una formagenérica que englobe todos los números pares mayores que dos, tarea nada sencilla pues debemos recordar que los números pares son infinitos.
Gran parte de la comunidad matemática cree que la conjetura es verdadera, pero en matemáticas "creer" es una palabra prohibida, hay que demostrarlo.
Pero, ¿Qué importancia tiene demostrar esto, de que sirve?
La verdad es que en la práctica estaconjetura no tiene ninguna utilidad, no por el momento, más si es importante desde el punto de vista matemático, recordemos que las matemáticas son abstractas, sus postulados, axiomas, métodos, algoritmos y demás pertenecen sólo a ella, la utilidad que se le dé a los mismos es tarea de los mortales.
Eso significa ¿Qué no vale la pena demostrar la conjetura de Goldbach?
De ninguna manera, pensareso es como decir que no valió la pena que Beethoven compusiera sus hermosas obras musicales, pues al final no tienen ninguna utilidad práctica mas que deleitar a quienes las escuchan; así como estas, toda obra matemáticas aplicada o no, ha sido concebida para deleitar el espíritu de aquellos que aprecian la mas sublime de las ciencias.
Dado que la conjetura de Goldbach está estrechamenterelacionada con las siguientes sucesiones, las consideraremos tema de estudio.
Como se puede ver en las series, si la conjetura de Goldbach es cierta, entonces deben existir dos primos tales que: 2 < p1 < m < p2 < 2m-2.
Sabemos que existe por lo menos un primo entre m y 2m-2 (postulado de Bertrand), entre 2 y m también existe por lo menos un primo, para valores de m>3.
Ahora que sabemosque existen por lo menos un par de primos entre 2 y 2m-2, ¿podemos afirmar que la conjetura de Goldbach es verdadera? la respuesta es que aun no, para que la conjetura sea verdadera, nuestros primos (p1, p2) deben ser de la forma:
p2 = m + (p2 - p1)/2
p1 = m - (p2 - p1)/2
El problema con estas igualdades es que todos los números entre 2 y 2m -2 se pueden expresar de esta forma, por loque no nos resulta muy útil para demostrar la conjetura.
Si seguimos observando, notaremos que todo par mayor que dos se puede escribir como la suma de un número primo (px) y otro número impar (primo o compuesto).
En realidad lo expresado anteriormente es un teorema que podemos expresar de la siguiente manera:
T1) Px + C = A, tal que A > 2
Donde:
Px = númeroprimo.
C = número impar (primo o compuesto).
A = número par.
Suma de términos de sucesiones aritméticas
Sean Su y St sucesiones tales que la diferencia entre los términos posteriores y anteriores de Su sea una constante (d) igual a la diferencia entre los términos posteriores y anteriores de St.
Esto es:
Como la diferencia entre los términos an,an-1 y bn, bn-1 son iguales a la misma constante, podemos decir que:
1) Los términos de Su son iguales a los términos de St, si a1 = b1.
2) Los términos de Su son un subconjunto de St, si b1 < a1.
3) Los términos de St son un subconjunto de Su, si a1 < b1.
4) La diferencia entre los términos n-ésimos de Su y St son también constantes, esto es:
an - bn = an-1 - bn -1 = k
Visto...
El 7 de junio de 1742 en una carta dirigida a Leonard Euler, Goldbach redactó:
"Todo número par mayor que dos puede ser expresado como la suma de dos números primos"
Ej.:
4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7 = 5 + 5; 12 = 5 + 7.
De forma algebraica la conjetura de Goldbach se puede expresar como:
P + P" = 2m /m > 1
Pararecordar:
Un número primo es aquel cuyos divisores propios son el mismo número y el uno.
El 2 el único número primo par.
Por definición el 1no es un número primo.
Poderosos ordenadores han confirmado la conjetura para valores muy grandes, pero eso no es una prueba fehaciente como para considerarla una demostración. Para que la conjetura pueda considerarse un teorema se debe encontrar una formagenérica que englobe todos los números pares mayores que dos, tarea nada sencilla pues debemos recordar que los números pares son infinitos.
Gran parte de la comunidad matemática cree que la conjetura es verdadera, pero en matemáticas "creer" es una palabra prohibida, hay que demostrarlo.
Pero, ¿Qué importancia tiene demostrar esto, de que sirve?
La verdad es que en la práctica estaconjetura no tiene ninguna utilidad, no por el momento, más si es importante desde el punto de vista matemático, recordemos que las matemáticas son abstractas, sus postulados, axiomas, métodos, algoritmos y demás pertenecen sólo a ella, la utilidad que se le dé a los mismos es tarea de los mortales.
Eso significa ¿Qué no vale la pena demostrar la conjetura de Goldbach?
De ninguna manera, pensareso es como decir que no valió la pena que Beethoven compusiera sus hermosas obras musicales, pues al final no tienen ninguna utilidad práctica mas que deleitar a quienes las escuchan; así como estas, toda obra matemáticas aplicada o no, ha sido concebida para deleitar el espíritu de aquellos que aprecian la mas sublime de las ciencias.
Dado que la conjetura de Goldbach está estrechamenterelacionada con las siguientes sucesiones, las consideraremos tema de estudio.
Como se puede ver en las series, si la conjetura de Goldbach es cierta, entonces deben existir dos primos tales que: 2 < p1 < m < p2 < 2m-2.
Sabemos que existe por lo menos un primo entre m y 2m-2 (postulado de Bertrand), entre 2 y m también existe por lo menos un primo, para valores de m>3.
Ahora que sabemosque existen por lo menos un par de primos entre 2 y 2m-2, ¿podemos afirmar que la conjetura de Goldbach es verdadera? la respuesta es que aun no, para que la conjetura sea verdadera, nuestros primos (p1, p2) deben ser de la forma:
p2 = m + (p2 - p1)/2
p1 = m - (p2 - p1)/2
El problema con estas igualdades es que todos los números entre 2 y 2m -2 se pueden expresar de esta forma, por loque no nos resulta muy útil para demostrar la conjetura.
Si seguimos observando, notaremos que todo par mayor que dos se puede escribir como la suma de un número primo (px) y otro número impar (primo o compuesto).
En realidad lo expresado anteriormente es un teorema que podemos expresar de la siguiente manera:
T1) Px + C = A, tal que A > 2
Donde:
Px = númeroprimo.
C = número impar (primo o compuesto).
A = número par.
Suma de términos de sucesiones aritméticas
Sean Su y St sucesiones tales que la diferencia entre los términos posteriores y anteriores de Su sea una constante (d) igual a la diferencia entre los términos posteriores y anteriores de St.
Esto es:
Como la diferencia entre los términos an,an-1 y bn, bn-1 son iguales a la misma constante, podemos decir que:
1) Los términos de Su son iguales a los términos de St, si a1 = b1.
2) Los términos de Su son un subconjunto de St, si b1 < a1.
3) Los términos de St son un subconjunto de Su, si a1 < b1.
4) La diferencia entre los términos n-ésimos de Su y St son también constantes, esto es:
an - bn = an-1 - bn -1 = k
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