Conjuntos: Conceptos básicos

Conjuntos: Conceptos básicos

Conjuntos: conceptos básicos

Nociones preliminares
El concepto de conjunto
Se adoptará el concepto de conjunto como  ‘primitivo’, o sea que no se dará una definición general de él. Se harán, no obstante, algunas precisiones, debido a que la idea de conjunto sugiere pluralidad; en el lenguaje ordinario, sugiere dos o más objetos. Sin embargo, se aceptará queun conjunto puede estar constituido por un solo elemento; por ejemplo, {a}. También puede carecer de elementos, es decir, puede ser vacío. El conjunto vacío tiene importancia especial y se suele simbolizar con Ø, o también con {}.
Definición por extensión y por comprensión
Para definir un conjunto en particular por extensión, se nombran los elementos que lo constituyen,  o se escriben lossímbolos correspondientes entre llaves. Los elementos se pueden nombrar, o escribir, en cualquier orden. Por ejemplo, {3, 4, 5, 6}, o también {4, 5, 6, 3}  (o en cualquier otro orden) es una definición por extensión del conjunto constituido por los números naturales comprendidos entre 2 y 7. Por otra parte, una convención general para la representación de conjuntos, consiste en que no se repiten nombres osímbolos de elementos, o sea que distintos elementos corresponden a distintos nombres o símbolos. Así, por ejemplo, {1, 2, 2, 3, 4, 5, 5} es el mismo que {1, 2, 3, 4, 5}, o que {4, 2, 3, 5, 1}, o con los elementos nombrados o escritos en cualquier otro orden.
La descripción que se ha hecho del conjunto  {3, 4, 5, 6}, mediante alguna propiedad que caracteriza a sus elementos (números naturalescomprendidos entre 2 y 7), es una definición por comprensión.
Notaciones
Se usan letras mayúsculas para nombrar conjuntos cuando se requiere designarlos  de manera general: ‘conjunto A’, ‘conjunto T’, etc. Las letras minúsculas se usan para designar elementos de conjuntos. Para expresar que x es un elemento del conjunto A, se escribirá  x  A. Para expresar que x no pertenece al conjunto A, seusará la siguiente notación simbólica: ¬ (x  A), o también, x ∉ A.
La inclusión, en sentido amplio, es una relación que puede darse entre dos conjuntos. Afirmar que el conjuntoA está contenido (o incluido) en el conjunto B, significa que todos los elementos de A están en B. En símbolos, A ⊆  B. En este caso se dice también que A es un subconjunto de B.
Lo del sentido amplio se refiere a que, deacuerdo con la definición dada, se acepta que A ⊆ A.
La inclusión, en sentido estricto se define de manera similar a la relación anterior, pero se agrega la condición de que exista al menos un elemento de B que no esté en A. Se simboliza con  A ⊂  B.O sea que, en el sentido estricto de la inclusión, no se acepta que A sea un subconjunto de A.
En adelante, se entenderá que la inclusión es en elsentido amplio, a menos que se advierta explícitamente lo contrario. Por razones que se darán más adelante, se debe aceptar que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto dado.
Referencial. Siempre que se hable de conjuntos, se les considerará como subconjuntos de un conjunto R, al que se llamará referencial. En ningún caso se mencionará siquiera al conjunto de todos los conjuntos, paraevitar situaciones paradójicas.
Igualdad. La igualdad entre conjuntos se puede definir en términos de la inclusión; la afirmación: ‘A = B’ significa que todos los elementos de A están en B (o sea que A ⊆  B) y también significa que todos los elementos de Bestán en A (o sea que se cumple también B ⊆  A). Cuando se afirma que A = B, lo que se quiere significar es queA, B son dos maneras de designaral mismo conjunto.
Conviene observar que en matemática la igualdad tiene un sentido más limitado, también más preciso, que el que se le suele dar en el lenguaje corriente, en el cual con frecuencia se utiliza igual como sinónimo de semejante o parecido; esta es una de las acepciones que proporciona el diccionario. Sin embargo, en el lenguaje técnico de la matemática, cuando se dice que A es...