convexo

CONVEXIDAD: CONCEPTOS BÁSICOS
El estudio de la convexidad de conjuntos y funciones, tiene especial relevancia a
la hora de la búsqueda de los óptimos de las funciones, así como en el desarrollo delos
algoritmos de resolución de los problemas de optimización, dado que cuando se
verifique la convexidad del conjunto de oportunidades se pueden desarrollar métodos de
resolución eficientes paralos problemas de optimización.
Recta en Rn .
Recta en Rn es el conjunto de puntos x ∈ Rn que cumplen la siguiente condición:
r =  x ∈ Rn / x = λ x1 + (1-λ) x2 ; x1,x2 ∈ Rn ; λ ∈ R
=  x ∈ Rn /x =x2 + λ ( x1 - x2 ) ; x1,x2 ∈ Rn ; λ ∈ R
Gráficamente

x1
x1-x2

x2

-x2

Semirecta en Rn.
De la definición anterior (recta) pero restringiendo el valor de λ al subconjunto
de R nonegativos (R+) o R no positivos1 (R-) , es decir:
S+ r = { x ∈ Rn / x = λ x1 + (1-λ) x2 ; x1,x2 ∈ Rn ; λ ∈ R+}
S- r = { x ∈ Rn / x = λ x1 + (1-λ) x2 ; x1,x2 ∈ Rn ; λ ∈ R-}
R+={x∈R/x≥0}
R++={x∈R/x>0}R-={x∈R/x≤0}
R--={x∈R/x α ; α ∈ R 

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Cada hiperplano define dos semiespacios. Gráficamente se trata de la porción
del espacio que esta por encima del hiperplano (semiespacio superior) o pordebajo del
hiperplano (semiespacio inferior).

ctx>α

ctx=α
ctx λ f(x1) + (1-λ) f(x2)
∀ λ ∈(0,1)

y

∀ x1,x2 ∈ S. con x1 ≠ x2

Si f(x) es una función convexa en S (convexo y no vacío),entonces la función [-f(x)]
es una función cóncava en S.
Propiedades:
Toda combinación lineal con coeficientes positivos de funciones convexas es una
función convexa.
Sea S ⊆ Rn un conjunto convexo yno vacío, y sea f: S → R una función convexa.
Entonces el conjunto de nivel inferior Sα = { x ∈ S / f(x) ≤ α }, es un conjunto convexo.
Si f es un función cóncava el conjunto de nivel superior Sα={x ∈ S/f(x)≥ α}, es un
conjunto convexo.

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Caracterización de funciones convexas
Caracterización de funciones de clase C1.
Dada una función f: S ⊆ Rn → R, donde S es un conjunto convexo y...