Conjuntos numericos

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

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CONJUNTOS NUMERICOS

Uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas es le número. El concepto de número surgió en la antigüedad, ampliándose y generalizándose con el tiempo. El primer conjunto numérico conocido es el de los NÚMEROS NATURALES que se representa simbólicamente con la letra N. En este conjunto de definen todas las operaciones con sus respectivaspropiedades, algunas de ellas con ciertas restricciones como el caso de la resta, que no se puede resolver en caso de que el minuendo sea menor que el sustraendo, por ejemplo: 6 – 11 ∉ N Ante la imposibilidad de resolver esta operación se crea el conjunto de números negativos, que unido al conjunto de los números naturales forman el conjunto de NÚMEROS ENTEROS que se representan con la letra Z.En el se definen todas las operaciones y sus respectivas propiedades, pero en el caso de la división se impone la restricción de que el dividendo sea múltiplo del divisor, si esto no se cumple, dicha operación no se puede realizar en este conjunto, por ejemplo: 5:8∉Z Para poder resolver este tipo de operaciones se crea el conjunto de números fraccionarios, que unido al conjunto de números enterosforman el conjunto de NÚMEROS RACIONALES. Este conjunto se representa con la letra Q. En este conjunto, una vez definidas todas las operaciones con sus respectivas propiedades, se observa que no es posible resolver operaciones tales como √ 2 ,√ 3 , √ 5 , etc. cuyos resultados no pueden indicarse como fracción. Ante esta imposibilidad se crea el conjunto de números irracionales, que, junto a losnúmeros racionales forman el conjunto de NÚMEROS REALES. Este conjunto se representa con la letra R. En él se pueden resolver todas las operaciones salvo las raíces de índice par y radicando negativo, tales como √ - 4 , por lo tanto se crean los números imaginarios, que unido al conjunto de números reales forman el mayor conjunto numérico conocido que es el de los NÚMEROS COMPLEJOS, que se representancon la letra C.

OPERACIONES CON NUMEROS REALES

SUMA Y PRODUCTO: Si a y b son números reales cualesquiera, existe uno y sólo un número real denotado por “a+b”, llamado su suma y existe uno y sólo un número real denotado por “ab” llamado su producto. LEYES CONMUTATIVAS: Si a y b son números reales cualesquiera, a+b=b+a LEYES ASOCIATIVAS: Si a, b y c son números reales cualesquiera, a + (b +c) = (a + b) + c LEY DISTRIBUTIVA: Si a, b y c son números reales cualesquiera, a (b + c) = a b + a c EXISTENCIA DE ELEMENTO IDENTICO: y a (b c) = (a b) c y ab=ba

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

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Existen dos números reales diferentes 0 y 1 tales que para todo número real a, a+0=a EXISTENCIA DE NEGATIVOS: Todo número real a tiene un negativo, denotado por – a, tal que, a + (- a) = 0 EXISTENCIA DERECIPROCO: Todo número real a ≠ 0 tiene recíproco, denotado por 1/a, tal que, a (1 / a) = 1 DEFINICION DE SUSTRACCION: Si a y b son números reales cualesquiera, la diferencia entre ellas denotada por a – b está definida por: a – b = a + (- b) y a1=a

DEFINICION DE DIVISION: Si a es cualquier número real y b es cualquier número real excepto el cero, el cociente de a y b está definido por: a =a. 1b b Para poder comparar dos números reales entre sí, se establecen las siguientes consideraciones: En el conjunto de los números reales existe un subconjunto llamado de los números positivos tales que, a) Si a es cualquier número real, exactamente una de estas tres afirmaciones se cumple: a = 0, a es positivo, - a es positivo. b) La suma de dos números positivos es un número positivo c) Elproducto de dos números positivos es un número positivo d) El número real a es negativo si y sólo si – a es positivo

DESIGUALDADES. DEFINICIONES: Los símbolos < (es menor que), > (es mayor que), ≤ (es menor o igual a) y ≥ (es mayor o igual a) se definen como sigue: a) a < b si y sólo si b – a es positivo b) a > b si y sólo si a – b es positivo c) a ≤ b si y sólo si a < b o a = b d) a ≥ b si y sólo...