Conjuntos probabilisticos

ESTAD^STICA ESPAÑOLA
Núm. 110, 1986, p^gs. 23 a 32

Agregación de criterios difusos en conjuntos
probabilísticos
por FRANCISCO JAVIER MONTERO DE JUAN
Departamento de Estadística e I. O.
Facultad de Ciencias Matemáticas
Universidad Complutense

RESUMEN
En este trabajo se revisan algunos resultados sobre operaciones de agregación para aplicarlos a problemas de decisión multicriterio enambiente difuso.
Palabras Clav^s: Decisiones
Agregación, Conjuntos Difusos.

1.

M ulticriterio, Operaciones de

INTRODUCCION

Aunque en los primeros trabajos sobre la Teoria de Conjuntos Difusos
(Zadeh, 19b5) se proponen los operadores para la intersección de conjuntos
difusos (mínimo y producto) y otros dos operadores para la unión (máximo
y suma), en muchas situaciones prácticasninguno de estos operadores resulta apropiado. En concreto, tal deficiencia es notoria cuando un problema de
decisión multicriterio se plantea como un problema de agregación (Czogala
et al., 1984).
Si ^-{xi, ..., x„} representa el conjunto de alternativas a considerar, notemos por D={ l, ..., m} el conjunto de criterios utilizados para describir ca-

F.sTwDís•riew Espw^va^.w

da una de lasalternativas. De este modo, el conjunto de alternativas será
evaluado para cada criterio, en términos de un «grado de aceptación» [Q, 1]
valorado, que en princip^o dependerá de un estado c^ E s2 observable. Asi la
bondad de las alternativas bajo el criterio j E,p vendrá. determinada por un
conjunto difuso de la forma
u^;^: X xfl^ -♦[o, 1]
es decir, un «conjunto probabilístico» en el sentido deHirota ( 1981) si sobre
un Q-álgebra de partes de s2 se define una medida de probabilidad P.
Se tratará entonees de ir agregando las valoraciones bajo los diferentes
criterios hasta lagrar una valoración global
^ v^ .X x ^2 --^ [E3, 1 ]
de modo que si la sección

^D(X^, ^ ) • s^--, Co, ^ ]
es medible para toda x; E X, sea posible hacer uso del criterio de la esperanza para escoger laalternativa. Dicho de ot,^Q modo, restringir nuestro problema al conjunto de alternativas x^ tal que
E [^ vix^, • )] = máx E [^ v(x^^ ' )]

2.

DESCRIPCION FORMAL

l^otemos entonces por ^c^l (X ) la familia de todos los canjuntos difusos
dehnidas sobre X, y por :^ (D) la familia de tadas las partes de D (es decir,
todos los grupos de criterios). Nuestro objetivo será ahora definir unaoperación de agregación para cada c.v E S2 fijo:
Q : .;^ x . ^ ---^ . ^
donde ,:^1' =.^l (X ) x^(D), de mado que a cada par de grupos de criterios le
corresponda el grado de aceptación de su agregación, En otras palabras:
(^^,^, A) 0( ^^8^ B) =(^^:^ u H^ A U B) `d A, B

AGREGACIt^N DE CRITERIQS DIFUS4S EN CONJUNTOS PROBASILÍSTICOS

Además, podenlos suponer que el conjunto de criterios está dado através de un conjunto difuso

^: D --. Co, l]
donde ^ (j) representa el grado en que el criterio j E D es realmente importante para el decisor. ^upondremos que ^3 (j) > 0 para todo criterio en D.
Por tanto, µ,,(xi} nos indicará el grado de aceptación o bondad de la
alternativa x^ analizada a la luz del grupo de criterios A E 9^ (D), valoración
que vendrá afectada no sólo por el número decriterios agregados en A, sino
también por las calidades ^3 (j) de los criterios j E A agregados.

Deftnición:
Una operación de agregación es toda correspondencia

Q ..^f x t.,^í --^ ^

(^1.,, A) CO (µ B^ B) _(µ ,4 u B, A iJ B) A(1 B=^
verificando
^(µ A^ A) O(µ B^ B)^ O(µ c, C) =(µ .q^ A) CO ^(µ B^ B) CO (µ c,, ^)^
(^c.q^ A) C^ (^1 B^ B) _(^c B, B) CO (^c A^ A)
Y algunas condicionespueden ser aceptadas con cierta generalidad:
i) Sean A, B E^^ (D) grupos disjuntos de criterios tales que µ A= µ B=
µ E .s^l ( X ). Entonces ^c ,q ^ 8 = µ.
ii)

Sean A, B E^( D) grupos disjuntos de criterios tales que
µ A(x) ^ µ^A ( x)^

^c B(x) ^ µ^e(!^) tí x E Y C X

entonces
^l .q u B(x) ^ µ^.4 u B(x)

dxE YCX

Bajo estas condiciones las siguientes definiciones tienen plen©...