Conjuntos

1 Lógica, Conjuntos y RelacionesEn este tema se verán los conceptos básicos necesarios del cálculo proposicional, conjuntos y relaciones para poder entender y trabajar con los lenguajes formales.1.1 Cálculo ProposicionalLa lógica desempeña un papel muy importante en muchos campos, como las matemáticas y la computación. La lógica es esencial para construir y probar programas de computadora. Sinembargo nuestro razonamiento a menudo es deficiente y puede dar lugar a errores, por tanto es importante identificar las leyes fundamentales de las derivaciones lógicas.Definición: Una proposición es una afirmación que se puede calificar, sin ninguna ambigüedad, como falsa o como verdadera.Por ejemplo: 1) hoy es lunes 2) 2 es mayor que 3 3) 2+4=3 4) México es una ciudad 5) Arón es alto yElias tambiénDefinición: Al valor que toma una proposición (verdadero, falso) se le llama valor de verdad de la proposición.Las proposiciones pueden ser representadas con variables proposicionales, P,Q, R….Solo se tienen dos constantes proposicionales verdadero (V) y falso (F)Las proposiciones pueden estar formadas por una o más proposiciones unidas por algún conectivo lógico.Definición: Unaproposición que consta de una única variable proposicional o una única constante proposicional se le denomina una proposición atómica.Es decir una proposición atómica es una proposición que no puede ser dividida en más proposiciones.Todas las proposiciones no atómicas se les denomina proposiciones compuestas. Todas las composiciones compuestas tienen por lo menos un conectivo lógico.Definición: Unatabla de verdad de una proposición da los valores de verdad para todas las posibles asignaciones.Es posible formar proposiciones compuestas a partir de otras proposiciones utilizando los conectivos lógicos. Los conectivos lógicos son palabras que se utilizan para unir dos o más proposiciones.NegaciónEl conectivo más sencillo es la negación que se define como sigue:Definición: Sea P una proposición.La proposición compuesta P, que se lee como “ no P”, es la proposición que es verdadera si P es falsa y es falsa si P es verdadera.También se utiliza la notación ~P, .La tabla de verdad para la negación es la siguiente: P | P |
V | F |
F | V |
ConjunciónDefinición: Sean P y Q dos proposiciones. Entonces la conjunción de P y Q que se denota por P Q y que se lee como “ P y Q”, es verdadera siy solo si tanto P como Q son verdaderas.La tabla de verdad correspondiente a la conjunción es la siguiente: P | Q | P Q |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | F |
DisyunciónDefinición: Sean P y Q dos proposiciones. Entonces la disyunción de P y Q que se denota por P Q y que se lee como “ P o Q”, es falsa si tanto P como Q son falsas y es verdadera si P es verdadera o Q esverdadera o ambas son verdaderas.La tabla de verdad correspondiente a la disyunción es la siguiente: P | Q | P Q |
V | V | V |
V | F | V |
F | V | V |
F | F | F |
CondicionalDefinición: Sean P y Q dos proposiciones. Entonces la conjunción de P y Q que se denota por P Q y que se lee como “si P entonces Q”, es falsa si P es verdadera y Q es falsa y es verdadera en los demás casos.La tabla deverdad correspondiente a la condicional es la siguiente: P | Q | P Q |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | V |
F | F | V |
BicondicionalDefinición: Sean P y Q dos proposiciones. Entonces la bicondicional de P y Q que se denota por P Q y que se lee como “ P si y solo si Q”, es verdadera si P y Q tienen el mismo valor de verdad y falsa en caso contrario.La tabla de verdad correspondiente a labicondicional es la siguiente: P | Q | P Q |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | V |
La conexión es la única conexión unaria, es decir que niega solo una proposición. Todas las demás conexiones son conexiones binarias, lo cual significa que requieren dos proposiciones que están unidas mediante la conexiónExisten varias formas de expresar en español un conectivo lógico, lo cual...