Continuidad de funciones



Colegio Romera
Preparatoria




Continuidad de funciones

Josefina Ibaceta Garrido
2ºA
Matemáticas IV
Ingeniero Fernando Aguilar
Martes 7 de mayo 2013.


















Definición:
Una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no escontinua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.

Funciones reales de una variable real
Informalmente hablando, una función f definida sobre un  intervalo  I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo,es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.
El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe.
El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, noes igual que el condominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.




El mayor elemento de J se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.


Continuidad de una función en un punto.

Definición de continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto X0 en el dominio de la función
si:  tal que paratoda x en el dominio de la función:

Otra manera más simple:

Si x0 es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en x0 si y sólo si . Cuando x0 no es de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto.
En el caso de aplicaciones de  en , y de una manera más rigurosa se dice que una función  es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existeel límitede f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x)cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además ambos coinciden con f(x1).




Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente: 









existe el límite por la derecha:


existe el límite por la izquierda:


La función tiene límite por la derecha y por la izquierda del punto x1


Ellímite por la derecha, el límite por la izquierda coinciden:









Si existen el límite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la función tiene límite en este punto:


Existe f(x1):


El límite y el valor de la función coinciden:


La función es continua en ese punto. Una función es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos.Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:



Para fraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1'. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, tal que.
Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededorde x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo  K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J.

Continuidad lateral





Una función  es continua por la izquierda enel punto  si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:


Una función  es continua por la derecha en el punto  si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

Una función  es continua en un punto si es continua por la izquierda y escontinua por la derecha. Esto es:



Continuidad...