Continuidad De Una Funcion

Mis Ejercicios sobre la continuidad de una función:

Sen x y Cos x
Estas funciones son continuas. Esto lo podemos ver gracias a la definición de Seno y Cos.
A continuación muestro las definiciones:
En trigonometría el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el
cateto opuesto y la Hipotenusa. En trigonometría el coseno de un ángulo agudo en un triángulorectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a ese ángulo y la hipotenusa.

Podemos ver en el dibujo esta las diferentes líneas que constituyen el triángulo.
Apegándonos a la definición Estas funciones siempre estarían definidas pues la hipotenusa siempre
tiene un valor por lo que nunca tendremos una división entre 0.
En las definiciones creo que no es necesario el triángulopues en el caso de que el ángulo sea de 0
grados (existirán el cateto adyacente y la hipotenusa, pero no el cateto opuesto -a menos que se
considere que el cateto no tiene longitud- ), y sin embargo nos han enseñado que el seno de 0 es 1 y el
cos de 0 es 0. Pasa algo similar con el grado 180, pues nos es difícil establecer los lados pues
prácticamente son una linea recta las lineas que forman elángulo.
Para el seno:
a/b ----> lo que nos da 0/b = 0.
Para el coseno:
b/c ----> Aquí b y c tienen el mismo valor por lo que el resultado es 1.
Sabemos entonces que estas dos funciones siempre estarán definidas para cada valor de los ángulos.
Por lo tanto son continuas (siempre están definidas en cualquier valor). A continuación dejo una
imagen de la gráfica seno y como se va formando:http://sks23cu.net/MT/Images/sineAnimation/sinusoids.gif

Tan x
En trigonometría la tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el
cateto opuesto y el adyacente:
Tan (α) = a/b

O también como la relación entre el seno y el coseno:
Tan (α) = Sen (α) / Cos (α)
Podemos observar que es una división, así que es probable que en algún momento tendremos unadivisión entre 0. Esto sucede cuando el ángulo es de 90 grados (Cos 90 = 0). Por lo que Tan 90 está
indeterminada; así que tan x es discontinua. Ahora veamos un triángulo de 90 grados. Por la
definición sabemos tan = cateto op / cateto ady.
En los siguientes triángulos se muestra la situación:

Como podemos observar, cuando el ángulo es de 90 grados nuestra hipotenusa se convierte en el catetoopuesto (esta frente al ángulo). Alguien me puede decir ¿cuál de los otros lados es el adyacente a 90
grados? está indeterminado.
Tal vez, no importaría para el ultimo triángulo; pues ambos lados miden lo mismo, pero no es así para
los primeros dos.

|X|
Para la función valor absoluto, la función está definida para los números reales (e incluso complejos),
por lo que nunca tendremos un “hueco”en la función. Lo anterior cumple la primera regla (que la
función esté definida en todos los puntos).
La segunda regla nos dice que el límite debe existir en cada punto (toda la regla numérica; ∞), cuando x
tiende al punto tomado. Si tomáramos cada punto e hiciéramos las operaciones nunca terminaríamos,
así que tomemos un punto cualquiera para ver como se comporta el valor absoluto con loslímites.
Por ejemplo:
lim |X|
x 0

Vemos que el límite si existe pues es 0. Lo mismo sucederá con cualquier otro valor. Por ejemplo, si x
tiende a -6 el límite será 6, si x tiende a 2.33522 el límite será 2.33522.
Por ultimo vemos que también cumple la tercera regla: pues el límite es igual a evaluar la función en el
punto tomado:
lim |X| = f  x  en 0 = f  0  = 0
x 0

lim |X| = f x  en −6 = f −6  = 6

x − 6

lim |X| = f  x  en 2.33522 = f  2.33522  = 2.33522

x  2.33522

Por lo tanto esta función si es continua.

Supongo que es así:
Está función esta definida para todos los valores que tome x ( Primera regla).
También cumple la segunda regla; pues el límite existe para cualquier valor al que tiende x.
Cumple también la tercera regla, por ejemplo...