Continuidad De Funciones

Continuidad de Funciones

Continuidad de un punto: El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere que su grafica no debe presentar saltos; es decir, que al trazar su grafica nose requiere utilizar la mano. Esto en términos formales seria.
Sea f una función de una variable real definida en un intervalo abierto (a, b) y sea x0 ∈ (a, b) . Se dice que f es continua en " x0" si lím f ( x) = f ( x0 ) . Es decir, si x→ x0 se cumplen tres cosas: 1. f ( x0 ) está definida 2. lím f ( x) = L (existe); y x→ x 0 3. L = f (x0 ) Caso contrario, se dice que f es discontinua en "x0 "

1. Ejemplo: Fig. 2.2 La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) no existe x → x0

2. Ejemplo: Fig. 2.3 La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) no existe x →x0


Continuidad en operaciones con funciones:
Si operamos funciones se obtienen nuevas funciones cuya cantidad se puede determinar haciendo uso de los siguientes teoremas.
Sean f y g funcionesde variable real continuas en el punto " x0 ", entonces también lo serán: k f , f + g , f − g , f .g , f g ( g ( x0 ) ≠ 0) , f n , n f ( f ( x0 ) > 0 si n es par )

Demostramos
Demostremos losiguiente: "Si f y g son funciones continuas en el punto " x 0 " entonces f + g también es continua en " x 0 "
Las hipótesis serían H 1: lim f ( x) = f ( x0 ) y x → x0 H 2: lim g ( x ) = g ( x0 ) x → x0Como lim [ f ( x) + g ( x) ] = lim f ( x) + lim g ( x) entonces
x → x0 x → x0 x → x0 lim [ f ( x) + g ( x) ] = f ( x0 ) + g ( x0 ) x → x0

Es decir C : lim ⎡( f + g ) ( x) ⎤ = ( f + g ) ( x0) ⎣ ⎦ x → x0
Lo cual indica que la función f + g también es continua en " x0 "

Las demostraciones del resto del teorema se la dejamos como ejercicio al lector. Se puede hacer analogía con elteorema principal de límites si surge la interrogante de saber lo que ocurre con el recíproco del teorema, es decir, que si tenemos una función suma (u otra, resultado de las operaciones indicadas)...