continuidad y discontinuidad de funciones

Continuidad y discontinuidades

CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDADES

0,9

0,99

0,99

1

2,98556

2,99364

2,99976

¿?

 A pequeños cambios de la variable independiente, pequeños cambios en la
función
 Cierta capacidad predictiva

Dos ideas importantes:
 LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CONTINUA NO TIENE QUE SER CONTINUA
 UNA FUNCIÓN CONTINUA PUEDE TENER DISCONTINUIDADES

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Continuidad y discontinuidades

Definiciones entorno a continuidad

Sea
una función definida en un entorno de punto c. Decimos que f es una
función continua en el punto c si:
1.
2.

Existe y es finito

3.

Sea
una función definida en un entorno a la derecha del punto c. Decimos
que f es una función continua en el punto c por la derecha si:
1.
2.

Existe y es finito

3.Sea
una función definida en un entorno a la izquierda del punto c. Decimos
que f es una función continua en el punto c por la izquierda si:
1.
2.
3.

Existe y es finito

Continuidad y discontinuidades

Evidentemente:

es una función continua en el punto c

es una función continua tanto a la
derecha como a la izquierda del punto c

y

yf(x)

a

La función

c1

c2c3

c4

b

x

es continua en cualquier punto del intervalo (a,b) salvo en los puntos c1, c3 y c4:


En c1 está definida pero:



En c3 está definida pero:
(



es continua en c3 por la derecha)

En c4 no está definida pero:

no es continua en c1, c3 y c4

3

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Continuidad y discontinuidades

 Una función
es continua en un conjunto A
continua en cada uno delos puntos del conjunto A.
 Una función
si

si

es

es continua en un intervalo abierto (a, b)
es continua en cada uno de los puntos del intervalo (a, b).

 Una función
es continua en un intervalo cerrado [a, b]
si
es continua en el intervalo (a, b), continua por la derecha en
el punto a y continua por la izquierda en el punto b.

Continuidad en intervalos
y

y

a

bLa función es continua en el intervalo abierto

x

a

x

b

La función es continua en el intervalo cerrado

La CONTINUIDAD EN UN INTERVALO produce GRÁFICAS CONTINUAS.
Es decir, si la función

es continua en un intervalo I, la gráfica de la función f en I:
 No puede tener cortes o interrupciones en I
 No puede presentar saltos en I
 No puede tener huecos vacios en I

Endefinitiva, la gráfica de una función continua en un intervalo se puede trazar de una sola vez,
sin levantar el lápiz del papel.

Nota: Cuando decimos que una función es continua en, por ejemplo, el intervalo

estamos

admitiendo sólo continuidad lateral por la izquierda en el extremo b del intervalo, no continuidad
global en dicho punto.

Continuidad y discontinuidades



Al conjuntode todos los puntos donde la función

es continua se le denomina dominio

de continuidad de

, es decir:

y lo notaremos como

Evidentemente, siempre



Decimos que la función

es continua en su dominio o simplemente es continua si

es continua en todos los puntos de su dominio de definición, es decir,

.

Gráfica de una función continua
y

yf(x)

c1

c2

c3

c4c5

c6

A pesar de que f es una función continua

c7

x

, su gráfica presenta saltos,

huecos y cortes
Hay que distinguir entre puntos de parada y discontinuidades.


DISCONTINUIDAD: punto en el que la gráfica de una función presenta un corte
o un salto. Puede pertenecer o no al dominio de definición de la función pero la
función tiene que estar definida tanto a la derechacomo a la izquierda del punto.
Los puntos c4, c5 y c6 son discontinuidades



PUNTOS DE PARADA: punto en el que la función sólo está definida a un lado.
Puede pertenecer o no al dominio de definición de la función pero la función sólo
está definida a un lado del punto.
Los puntos c1, c2, c3 y c7 son puntos de parada

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Continuidad y discontinuidades

Propiedades de las...