Continuidad

CONTINUIDAD.

| f(x)=x2 |
Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable “x” implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la grafica cosiste de un solo trozo de curva.
|    | f(x)= x |
| | |
En contraste, una gráfica como la de la función f(x)=x que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abscisa exhibe allí unadiscontinuidad.
La continuidad de la función f(x) para un valor significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor de f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.
Definición.
Continuidad.
Una función f(x) es continua en un punto a si limx→af(x) = f(a) .
Nota: Observar que debe existir f(A) y debe existir el limx→af(x) y debe ser igual a f(a).

Ejemplos de Discontinuidad.

| f(x)=1/x2

Discontinua en x=0 (No existe f(0)) |

|     | f(x) = x2 si x <= 2
        2x - 4 si x > 2 

Discontinua en x=2.

Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0 |

Sin embargo, si miramos la función para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 “por la izquierda”.Continuidad por la izquierda.
Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto “a” si existe f(a) y limx→a-f(x) = f(a).
Continuidad por la derecha.
Una función f(x) es continua por la derecha en el punto “a” si existe f(a) y limx→a+f(x) = f(a).
La función anterior es continua por la izquierda en x=2 pero no por la derecha.
Continuidad en un intervalo cerrado [a, b] si:
* f escontinua en “a” por la derecha.
* f es continua en “b” por la izquierda.
* f es continua en “x” para todo x perteneciente al intervalo abierto (a, b).
Clasificación de discontinuidades.
Evitable.
Caso A: No existe f(a) pero existe limx→af(x).
Ejemplo:
|    | f(x)= e-1/x2 + 2 |

No existe f (0) pues anula un denominador.
limx→0-fx= limx→0fx=2. O sea limx→0fx=2.
Podemos extender ladefinición de la función, asignándole en el punto el valor del límite, con lo cual la función se torna continua. Por ello este tipo de discontinuidad se denomina evitable.
Caso B: Existe f(a) y existe limx→af(x)=b pero b ≠ f(a). (existe f(a) pero es distinto al valor del limite).
Ejemplo:
|    | f(x) = x2 si x≠2
        8 si x=2 |
F (2) = 8
limx->2 f(x) = 4
Asignándole a la función elvalor 4 en x=2, se elimina la discontinuidad.

No Evitable.
1ra Especie: limx→a-f(x) ≠ limx→a+f(x). Los límites laterales son distintos.
Ejemplo:
|    | f(x) = x/(x - 2) |

limx->2-f(x) = -inf.
limx->2+f(x) = +inf.
2da Especie: No existe limx→a-f(x) o no existe limx→a+f(x).
(No existe por lo menos uno de los límites laterales).
Ejemplo:
|    |______ f(x) = \|x2 - 4 |

En x= -2 y x=2 la función presenta discontinuidades no evitables de 2ª especie. No existe limx→-2+f(x) y no existe limx→2-f(x).

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN.
La derivada de una función f, es una función denotada por tal que para cualquier x del dominio de f  está dada por:

Si este límite existe.
            Si  es un númerodel dominio de f, entonces:

Si este límite existe.
El proceso de calcular la derivada de una función se denomina derivación o diferenciación, es decir, la derivación o diferenciación es el proceso mediante el cual se obtiene a partir de f. Si una función tiene derivada en todo su dominio, se dice que es una función diferenciable.
2.1)  Determine la derivada de aplicando la ecuación (B).
Solución:PROPIEDADES DE LA DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES

Hallar la derivada de una función aplicando la definición de derivada es un proceso largo y la mayor de las veces es bastante tedioso. Afortunadamente existen varias propiedades en la derivación de funciones que los matemáticos han descubierto y establecido como teoremas. Algunos de estos teoremas son generales, aplicables a cualquier función,...