continuidad

Cap´tulo
ı

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Funciones Continuas y l´mite funcional
ı
En matemáticas, la evidencia es enemiga de la corrección.
Bertrand Russell

4.1. Introducción
En esta lección vamos a estudiar con algún detalle un concepto teórico importante que es el
de continuidad. Para motivar la definición que vamos a dar de continuidad, consideremos una
ley física de la forma P D f .V /, que relaciona losvalores de una “variable independiente V ”
(podemos pensar que es el volumen de un gas) con otra “variable dependiente P ” (podemos
pensar que es la presión). Si queremos usar dicha ley, hemos de medir un valor V0 de la variable
V , y es inevitable que al hacerlo cometamos algún error el cual, naturalmente, influye en el
correspondiente valor de P , que ya no será exactamente igual a P0 D f .V0/. Surge así la
pregunta natural: ¿de qué forma el error en la medida de V afecta al valor resultante de P ? Es
claro que si para valores de V “muy próximos” a V0 obtengo valores de P muy diferentes entre
sí, la ley “f ” que relaciona V con P no tendrá ninguna utilidad práctica.
Puesto que los errores de medida son inevitables, no es razonable tratar de obtener “el
verdadero valor P0 ”. Loque sí puede hacerse es fijar una cota de error admisible para P (la
cual dependerá de cada situación concreta), llamemos “"” a dicha cota (" > 0), y tratar de
obtener otra cota de error “ı” (ı > 0), de tal forma que siempre que midamos V0 con un
error menor que ı tengamos la seguridad de que el valor resultante para P se diferencia de
P0 en menos que ". Esto es, jf .V / f .V0 /j < " siempre quejV V0 j < ı. Cuando esto
efectivamente pueda hacerse para cualquier cota de error " > 0 decimos que la ley “f ” es
continua en V0 .
Observa que cabe esperar que la cota de error ı dependa del " fijado en cada caso. Intuitivamente, cuanto más pequeño sea el error permitido en los datos finales, tanto mejor tendremos
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Continuidad

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que medir la variable independiente. En general,la precisión ı con la que debemos medir V0
para obtener un error final menor que ", depende no solamente del valor fijado de " sino también
del valor de V0 . Esto es fácil de entender, no es lo mismo medir un volumen de varios metros
cúbicos que otro de unos pocos milímetros cúbicos, la precisión de nuestra medida debe ser
mejor en este último caso.
Las ideas anteriores conducen, de formanatural, a la definición matemática de continuidad.
En todo lo que sigue, la letra A representará un conjunto no vacío de números reales. En
la práctica A será siempre un intervalo o una unión de intervalos. Recuerda que la notación
f W A ! R quiere decir que f es una función real cuyo dominio es A. Es muy importante
advertir que A no tiene por qué coincidir con el dominio natural de la función. Estoes así
porque con frecuencia estamos interesados en estudiar propiedades de una función en una parte
de su dominio natural. Además, la continuidad de f depende tanto de la “regla que la define”
como del conjunto en donde estamos trabajando. Enseguida pondremos ejemplos para aclarar
esto.

4.2. Continuidad
4.1 Definición (Continuidad en un punto). Una función f W A ! R se dice que es continuaen un punto a 2 A si, para cada número " > 0, se puede encontrar un número ı > 0 (que,
en general, dependerá de " y de a) tal que para todo x 2 A con jx aj < ı se verifica que
jf .x/ f .a/j < ".
La definición anterior suele escribirse, con abuso del formalismo lógico, de la siguiente
forma:

jx aj < ı
C
C
÷jf .x/ f .a/j < "
(4.1)
8" 2 R 9 ı 2 R W
x 2A

Comentarios a la definición.Observa que en esta definición el conjunto A tiene mucho protagonismo: sólo se consideran los valores de f en A, lo que le pueda pasar a f fuera de A no
nos interesa. El siguiente ejemplo es ilustrativo.
a) Sea f W R ! R la función de Dirichlet dada por f .x/ D 1 si x 2 Q, f .x/ D 1 si x 2 R n Q.
Es la función que vale 1 en los puntos racionales y 1 en los irracionales. Esta función no es...