continuidad

Funciones continuas
En el curso de cálculo diferencial estudiamos una definición simple de la continuidad que tiene una función en un punto de. Veamos como se planteaban entonces.
Sea y una función bien definida.
Diremos que f es continua en si;




Si fallan alguna de estas tres condiciones entonces la función no es continua en x=a, es decir; f es discontinua en . Además diremosque f en continua en un intervalo o en un subconjunto de si f en continua en cada punto del intervalo o del subconjunto de , por consecuencia podemos decir que f es discontinua en un intervalo o subconjunto de si lo es en un punto que pertenece a dicho intervalo o subconjunto de .
Las funciones continuas constituyen una clase fundamental para las operaciones del análisis matemático.Una ideaintuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfico es continuo, en elsentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel, como en la figura 1.1 y nocomo en la figura 1.2.



Función continúa. Figura 1.1



Función discontinua. Figura 1.2



Una función continua provee la expresión matemática de la situación muy frecuente de que a«incrementospequeños» de la variable independiente corresponden «incrementos pequeños» de la variabledependiente.En el curso de análisis matemático estudiaremos la continuidad de las funciones de forma más formal.

Definición 1:
Sea , sea , y sea . Se dice que f es continua en c si dada cualquier vecindad de f(c), existe una vecindad de c tal que si , entonces f(x) pertenece a .
Definición 2:
Sea , sea . Si, se dice que f es continua en B si f es continua en cada punto de B.
Teorema 1
Sea , sea , y sea . Entonces las condiciones siguientes son equivalentes:
i. f es continua en c
ii. Dado cualquier existe tal que si y , entonces .
iii. Si es una sucesión cualquiera de números reales tal que para toda y converge a c, entonces converge a f(c).

Demostración:


Dado ,existe tal que y
Luego;




Ahora, como f es continua en c, para cualquier Vecindad V de f(c), existe una vecindad de c tal que si , entonces . Para la vecindad
la cual contiene a f(c), existe tal que , por lo que , es decir,







Consideremos una sucesión tal que , para todo y converge a c. Por definición de convergencia, para , , existe tal que , implica que .Luego, por hipótesis se tiene que: . Es decir;




Razonemos por absurdo, supongamos que f no es continua en c, es decir, para una vecindad V de f(c), toda vecindad de c donde cumple que , luego, para algún , el cual obtenemos que

Consideremos una sucesión tal que, converge a c, luego por hipótesis converge a f(c), es decir, para un se cumple que;

Tomando setiene que;

Contradicción por ya que
Lo supuesto es falso
f es continua en c
Así probamos que las tres condiciones son equivalentes.

Este teorema nos brinda un visual mas claro de la discontinuidad y lo explicaremos muy bien en el siguiente corolario.




Corolario del teorema 1 (Criterio de discontinuidad)

Sea , sea , y sea . Entonces f es discontinua en c si y solo si existeuna sucesión en A tal que converge a c, pero la sucesión no converge a f(c).
Demostración:

Razonemos por absurdo. Supongamos que toda sucesión en A tal que converge a c, cumple que converge a f(c), luego por el teorema 1 se tiene que f es continua en c!! Contradicción ya que f es discontinua en c, lo supuesto es falso por lo tanto existe una sucesión en A tal que converge a c, pero lasucesión no converge a f(c).


Razonemos por absurdo, supongamos que f es continua en c, por el teorema 1
se tiene que es una sucesión cualquiera de números reales tal que para toda y converge a c, entonces converge a f(c).!! Contradicción ya que la sucesión no converge a f(c). Lo supuesto es falso por lo tanto fes discontinua en c.

Ejemplos de funciones continuas:
1.) Sea con...