continuidad

Continuidad de una función
Se dice que una función f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes:
Lafunción existe en a.
Existe límite de f(x) cuando x tiende a a.
El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales:

Cuando no secumple alguna de las anteriores condiciones, se dice que la función es discontinua en el punto.
Por otra parte, se considera que la funciónes continua en un intervalo (a, b) cuando es continua en todo punto x, tal que a < x < b.

Ejemplo de función continua.

La función de la figura esdiscontinua en el punto x = 1.
Funciones continuas
Para algunas familias de funciones es posible conocer su continuidad basándose en los siguientescriterios generales:
Las funciones polinómicas son continuas en todo el conjunto de los números reales.
Las funciones racionales obtenidas como cociente dedos polinomios son continuas en todos los puntos del conjunto R, salvo en aquellos en los que se anula el denominador.
Las funcionespotenciales, exponenciales y logarítmicas son continuas en todo su dominio de definición.
Las funciones trigonométricas seno y coseno son continuas en todo elconjunto de los números reales (en cambio, la función tangente es discontinua en los valores múltiplos impares de p/2).
Derivada
La derivada de lafunción f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.