Control en v compl

CONTROL EN VARIABLE COMPLEJA

1. Encuentre las dos expresiones para las señales , grafique por los dos métodos.

Ejemplo 1
t=-6:0.001:6;
a=3*(t+5).*stepfun (t,-5)-3*(t+4).*stepfun (t,-4)-3*(t-4).*stepfun (t,4)+3*(t-5).*stepfun (t,5);
plot (t,a); grid; axis([-6 6 -1 4])



Ejemplo 1 por matrices
t1 = -10:-5; t2 = -5:-4; t3 = -4:4; t4 = 4:5; t5 = 5:7; t = [t1 t2 t3 t4 t5];
r =[zeros (1,6) 3.*(t2+5) 3.*ones (1,9) 3.*(-t2-4) zeros (1,3)];
plot (t,r); grid; axis ([-6 6 -1 4])

Ejemplo 2
t=-2:0.001:15;
a=4/5*(-t+5).*[stepfun (t,0)-stepfun (t,5)]+4/5*(t-5).*[stepfun (t,5)-stepfun (t,10)];
plot (t,a); grid;axis ([-1 11 -1 6])



Ejemplo 2 por matrices
t1= -1:0; t2 = 0:5; t3 = 5:10; t4 = 10:12; t = [t1 t2 t3 t4];
b= [zeros (1,2) 4/5*(-t2+5) 4/5*(t3-5) zeros(1,3)];
plot (t,b);axis ([-1 11 -1 6])



2. Determine la salida del sistema representada por la ecuación diferencial:


a). Desarrollado en matlab
num = [1 2 3];
den = [1 4 11 14 10];
[a, b, c,]=residue (num, den)

a=

-0.0000 - 0.1667i
-0.0000 + 0.1667i
0.0000 - 0.1667i
0.0000 + 0.1667i

b =

-1.0000 + 2.0000i
-1.0000 - 2.0000i
-1.0000 + 1.0000i
-1.0000 - 1.0000i

c=

[ ]

syms s

Y= (-0.0000 - 0.1667i) / (s - (-1.0000 + 2.0000i)) + (-0.0000 + 0.1667i) / (s - (-1.0000 - 2.0000i)) + (0.0000 - 0.1667i) / (s - (-1.0000 + 1.0000i)) + (0.0000 + 0.1667i) / (s - (-1.0000 - 1.0000i));
ilaplace (Y)

ans = 1667/5000*exp (-t)*sin(2*t)+1667/5000*sin(t)*exp (-t)

Matlab da un valor y ese se grafica:

t=-10:0.001:0;

f=1667/5000.*exp (-t).*sin (2*t) +1667/5000.*sin (t).*exp (-t);

Figure (1), plot (t,f);



b). Por Simulink:




Ejemplo 3
Obtenga la transformada z de la siguiente función donde a es una constante. Grafique y compare en
Matlab la función en tiempo continuo y la función en tiempo discreto.
x(t) =(1/a)*(1 − e−at)
Distribuyendo, tenemos

Luego, por la transformada del escalón y la propiedad lineal de la transformadaz,

En el Matlab comparamos la respuesta del sistema continuo (en rojo) con la del sistema discreto (azul):
num=[0 1-exp(-1) 0];
den=[1 -1-exp(-1) exp(-1)];
t=0:0.2:10;
xt=(1-exp(-t));
plot(t,xt,’r’)
hold;
impz(num,den)


Ejemplo 4
Para la función G(z) = Y (z)/X(z), hallar la transformada inversa z mediante el método Matlab (comando
filter) hasta k = 10. Graficar la secuencia(comando stem).
Y (z) = 0, 01409z3 + 0, 028z2 + 0, 01409z
X(z) = z3 − 2, 7624z2 + 2, 5811z − 0, 8187
Con el siguiente programa graficamos los 10 primeros elementos de la secuencia de Y (z)/X(z).
num=[0.01409 0.028 0.01409 0];
den=[1 -2.7624 2.5811 -0.8187];
Xz=[1 zeros(1,10)];
Yz=filter(num,den,Xz);
n=0:1:10;
stem(n,Yz);
xlabel(’k’);


Ejemplo 5
Para la ecuación en diferencias encontrarla serie en forma Matlab.
Luego, hallar la transformada Z, mediante (comando filter), encontrar la transformada inversa Z hasta k = 30.
x(k + 2) = x(k + 1) + x(k), donde x(0) = 0 y x(1) = 1
Las transformadas z de x(k + 2), x(k + 1) y x(k) están dadas, respectivamente, por

Z[x(k + 2)] = z2X(z) − z2x(0) − ex(1)
Z[x(k + 1)] = ex(z) − ex(0)
Z[x(k)] = X(z)
Al tomar las transformadas z deambos miembros de la ecuación en diferencias dada, se obtiene
z2X(z) − z = ex(z) + X(z)
donde se han reemplazado las condiciones iniciales dadas.
Finalmente, despejando y simplificando,
X(z) = z
z2 − z − 1
(2)
que es la transformada z buscada.
Ahora utilizo el siguiente programa para comparar el método manual con el método de Matlab.
%Metodo manual
x(1)=0;
x(2)=1;
N=30;
for k=1:N-1x(k+2)=x(k+1)+x(k)
end
n=0:N;
subplot(2,1,2);
stem(n,x,’r’);
title(’Metodo manual’);
%Metodo Matlab
num=[0 1 0];
den=[1 -1 -1];
n=0:1:N;
x=[1 zeros(1,N)];
y=filter(num,den,x);
subplot(2,1,1);
stem(n,y,’b’);
title(’Metodo Matlab’);



Ejemplo 6
Encuentre la transformada inversa Z utilizando el método de expansión en fracciones parciales y con el
Matlab (comando residuez).
X(z) =...