Control N 3 Segundo Semestre 2013

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de ciencia
Departamento Matemática y Ciencia de la Computación
Área de Estadística

CONTROL N° 3 ANALISIS ESTADISTICO PARA INGENIERIA 10115 - A
(18/12/2013)
Nombre:…………………………………………………..…….Rut:……………….…….Nota:________
1. El tiempo (X), en minutos, que demora de una determinada tarea, dentro de un proceso industrial, es una variable
aleatoria con función dedensidad:
𝑥 −𝑥/𝜃
𝑠𝑖 𝑥 > 0; 𝜃 > 0
𝑓 (𝑥) = {𝜃 2 𝑒
𝐸 (𝑥) = 2𝜃
0
𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
1.1 Determinar el estimador máximo verosímil del parámetro 𝜃 para una muestra aleatoria de tamaño n de la
variable aleatoria X donde 𝜃 es desconocido.
(1.5p)
1.2 Mediante un muestreo aleatorio simple se eligieron 15 tareas y se registro el tiempo que demoraron en
minutos, obteniéndose:
5,56
2,23
0,58
1,37
0,21
1,98
2,442,71
10,12
4,69
3,47
1,73
3,51
1,19
0,97
Calcular la estimación máximo verosímil del tiempo medio de duración de estas tareas. (0.5p)
2. Los datos que se presentan a continuación corresponden al peso en gramos (X) obtenidos de 40 piezas metálicas
seleccionadas al azar en una industria metalúrgica. Las piezas para que puedan ser utilizadas deben pesar al
menos 178 gramos y a lo más 225 gramos.
PesoTallo y Hojas
194
207
180
207
215
227
184
227
206
184

219
227
200
184
194
224
184
188
205
178

40

184
207
194
209
212
193
197
196
197
212

174
203
204
211
215
196
205
212
220
200

40

∑ 𝑥𝑖 = 8075

∑ 𝑥𝑖 2 = 1.638.057,0

𝑖=1

𝑖=1

Frecuencia
1,00
1,00
6,00
1,00
4,00
4,00
4,00
7,00
4,00
3,00
2,00
3,00

Tallo & Hojas
17.
4
17.
8
18.
044444
18.
8
19.
3444
19.
6677
20.
0034
20.
5567779
21.
1222
21.
55922.
04
22.
777

En base a la muestra y suponiendo validos los supuestos necesarios
2.1 Estime con 95% de confianza el peso medio de las piezas metálicas.
(1.2 p)
2.2 El fabricante de las piezas metálicas señala que la varianza del peso es inferior a 225 (gramos) 2.
Considerando un nivel de significación del 5%, ¿existe evidencia suficiente para apoyar lo señalado por el
fabricante?
(1.6 p)
2.3 Conun 99% nivel de confianza, ¿qué tamaño de muestra se requiere para estimar la proporción de piezas
que no pueden ser utilizadas, con un error de estimación de a lo más 0,055?
(1.2p)

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Área de Estadística
CONTROL N° 3 ANALISIS ESTADISTICO PARA INGENIERIA 10115 - B
(18/12/2013)Nombre:…………………………………………………..…….Rut:……………….…….Nota:________
1. La vida útil de una batería de alta durabilidad (Y) en meses, es una variable aleatoria que tiene la siguiente
función de densidad:
𝑦

𝑒 −𝜃
𝑓(𝑦) = {

√𝜃 ∙ 𝜋 ∙ 𝑦
0

𝑦>0; 𝜃 >0
𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

1.1 Determinar el estimador máximo verosímil del parámetro 𝜃 desconocido para una muestra aleatoria de
tamano n de la variable aleatoria Y.
(1.5p)
1.2 Mediante un muestreo aleatorio simple de12 baterías de alta durabilidad, se han obtenido los siguientes
tiempos de duración en meses
48
52
45
44
48
39
56
70
68
54
72
58
Calcular la estimación máximo verosímil del parámetro (𝜃 + 3).

(0.5p)

2. Los datos que se presentan a continuación corresponden al peso en gramos (X) obtenidos de 40 piezas metálicas
seleccionadas al azar en una industria metalúrgica. Las piezas para que puedan serutilizadas deben pesar al
menos 175 gramos y a lo más 218 gramos.
Peso Tallo y Hojas
191
208
170
192
215
186
209
197
204
206

194
188
199
202
220
203
200
210
208
201

40

209
217
175
182
202
189
189
202
196
192

203
208
210
183
207
192
221
219
201
219

40

∑ 𝑥𝑖 = 8019

∑ 𝑥𝑖 2 = 1.613.419,0

𝑖=1

𝑖=1

Frecuencia
1,00
1,00
2,00
4,00
5,00
3,00
9,00
7,00
2,00
4,00
2,00

Tallo & Hojas
17.
0
17.
5
18.
2318.
6899
19.
12224
19.
679
20.
011222334
20.
6788899
21.
00
21.
5799
22.
01

En base a la muestra y suponiendo validos los supuestos necesarios
2.1 Estime con 95% de confianza la verdadera varianza del peso de las piezas metálicas.
(1.2p)
2.2 El fabricante señala que el peso promedio de las piezas metálicas es inferior a 205 gramos. Considerando un
nivel de significación...