Control

1

Estabilidad

Cuando decimos que un sistema es estable, nos referimos a aquel que de alguna manera podemos mantener bajo control, de tal forma que, responda de alguna forma razonable a una determinada entrada aplicada. Por otro lado tratar de determinar la estabilidad de un sistema físico bajo todas las posibles condiciones de operación es muy difícil; sin embargo, para un sistema cuyomodelo dinámico sea lineal invariante en el tiempo no lo es tanto. Para estos sistemas usaremos el concepto de estabilidad acotada (BIBO - bounded input bounded output). Definición 1 Un sistema es estable acotado en la entrada y acotado en la salida (BIBO), si, para cualquier entrada acotada, la salida permanece acotada todo el tiempo. Sea una planta con la siguiente función de transferencia Y (s) 2 =3 . 2 + 5s + 2 U (s) s + 4s (1)

Para estudiar el concepto de estabilidad de un sistema de control, iniciaremos analizando el comportamiento de la respuesta de la planta (1) cuando la entrada es una señal escalón unitario como se muestra a continuación

u(t)

2 s3 + 4s2 +5s+ 2
Sistema en lazo abierto.

y(t)

Con el apoyo del Matlab obtendremos su respuesta al escalón unitario: >> %Primero se define la función de transferencia >> n=[0 0 0 2] >> d=[1 4 5 2] >> g=tf(n,d) Transfer function: 2 3 + 4s2 + 5s + 2 s >> step(g)

1

Señal de error R(s) + E(s)
G(s )

C(s)

Cm(s)
H ( s)

Figure 1: Sistema en lazo cerrado. Como se observa en la figura anterior, la respuesta a la entrada escalón unitario de la planta en lazo abierto es estable; pero como es sabido, una planta enlazo abierto puede estar sujeta a perturbaciones1 provocando errores en la respuesta. En presencia de un error, la corrección sobre la señal de entrada se hace de forma manual, siempre y cuando el operador de la planta se de cuenta del error. En muchos casos no es importante que la respuesta de la planta sea precisa o exacta asi que un sistema de control en lazo abierto es suficiente. Sin embargo,una gran cantidad de procesos requieren correcciones automáticas en la señal de entrada en presencia de perturbaciones, entonces, es necesario medir la señal de salida (que se desea mantener en un cierto valor) para poder determinar el tamaño del error y entonces calcular el nuevo valor de la señal de la entrada capaz de corregir el error y provocar que éste tienda a cero. A continuación,analizaremos un esquema de control en el que se agraga un medidor (sensor2 ) en la salida de la planta y un dispositivo para calcular el error; en el cual la planta se representa como G (s), el medidor como H (s), la salida de la planta es C (s), el error es E (s) = R (s) − Cm (s), R (s) es el valor que deseamos tener en la salida de la planta y Cm (s) es la salida del medidor es decir el valor medido de lasalida de la planta. La configuración del sistema de control mostrado se conoce como sistema de control de lazo cerrado (en donde el lazo lo forma la medición de la respuesta de la planta). Frecuentemente el valor de H (s) = 1, conociendose como retroalimentación unitaria. A continuación se muestra la respuesta al escalón unitario para el sistema con retroalimetación unitaria de la planta (1).perturbación puede ser externa como las alteraciones en las señales de alimentación, por ejemplo el voltaje eléctrico, presión neumática o hidráulica, calor, etc. o puede ser interna como los cambios en sus parámetros, por ejemplo la resistencia eléctrica. 2 Un sensor o transductor es un dispositivo que convierte una señal física de cierto tipo (por ejemplo temperatura en grados Celsius), en unaseñal física de otro tipo (por ejemplo tensión eléctrica en mV).
1 Una

2

Como se observa, la respuesta no alcanza al escalón unitario estabilizandose en 0.5, es decir existe un error en la respùesta de estado estable del 50%. ¿Ante este problema, qué debemos hacer?. Para eliminar este problema, se agrega en serie con la planta un dispositivo al que denominaremos "controlador" y se denota...