Controlador

Método directo Se basa en la representación matemática de un principio físico: si la energía de un sistema se disipa de forma continuada, entonces el sistema debe converger a un punto de equilibriode dicho sistema. La formulación matemática se fundamenta en la búsqueda de una función de Lyapunov que pueda caracterizar el comportamiento del sistema dinámico bajo estudio. La siguiente figurarepresenta a un sistema que muestra un comportamiento estable

Lo cual significa que para un sistema dinámico invariante en tiempo de la forma

�� = �� ��
que posea un punto de equilibrio definido por(1)

�� ���� = ��
debe cumplir:

(2)

1.- Al seleccionar un conjunto O1 que incluya a xe. 2.- Debe existir un conjunto O2 que cuando se defina un estado inicial xi, no se cruce la fronteraque define a O1. 3.- La evolución de los estados no tienen por qué converger a xe. Lo anterior equivale a expresar: ���� ∈ ��2 ⇒ �� �� ∈ ��1 para todo �� > 0. A menudo los conjuntos O1 y O2 se definencomo la norma euclídea, entonces se cumple que existirá un radio �� > 0 tal que ���� − ���� < �� ⇒ ��(��) − ���� < ��. Lo anterior se muestra en la siguiente figura

La estabilidad asintótica serefiere a que los estados del sistema tienden hacia el punto de equilibrio del mismo, ello es: existe un �� > 0 tal que para ���� ∈ �� (�� ∈ ℝ�� ) con ���� − ���� < �� ⟹ ��(��) → ���� cuando �� → ∞, taly como muestra la siguiente figura

El teorema principal de estabilidad de Lyapunov se basa en considerar que un sistema dinámico no lineal definido por (1) que posea un punto de equilibrio ����(ver (2)), entonces si existe una función �� �� que satisfacen las condiciones: a.- �� 0 = 0 y es continua en x. b.- �� �� > 0 (definida positiva) c.- �� �� =
���� �� ����

=

���� �� ����

�� =���� �� ����

�� �� < 0 (definida negativa)

Se pueden calcular las derivadas parciales continuas utilizando: �� �� =
�� ���� �� ��=1 ����
��

���� =

�� ���� �� ��=1 ����
��

����...