Conveccion Para Una Pared Plana

6-8 • SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DE CONVECCIÓN PARA UNA PLACA PLANA
Considere el flujo laminar de un fluido sobre una placa plana, como se muestra en la figura 6-19.

Las superficies que están ligeramente contorneadas, como los alabes de las turbinas, también se pueden considerar como placas planas con exactitud razonable. La coordenada x se mide a lo largo de la superficie de la placa,desde el borde de ataque de ésta, en la dirección del flujo, y la y se mide desde la superficie en la dirección perpendicular. El fluido se aproxima a la placa en la dirección x con una velocidad uniforme corriente arriba, la cual es equivalente a la velocidad u∞ de la corriente libre.

Cuando la disipación viscosa es despreciable, las ecuaciones de continuidad,

∂u∂x+∂v∂y=0
de la cantidadde movimiento
ρ.u.∂u∂x+v.∂y∂x=μ.∂2u∂y2-∂P∂x
´
y de la energía
ρ.CP.u∂T∂x+v∂T∂y=k.∂2T∂x2+∂2T∂y2

se reducen, para el flujo laminar, incompresible y estacionario de un fluido con propiedades constantes sobre una placa plana, a

Continuidad:
∂u∂x+∂v∂y=0 6.39

Cantidad de movimiento:u∂u∂x+v∂y∂x=v.∂2u∂y2 6.40

Energía:
u∂T∂x+v∂T∂y=α.∂2T∂y2 6.41

con las condiciones de frontera (figura 6-26)

En x = 0: u0,y=u∞ , T0,y=T∞
En y = 0: ux,0=0 , vx,0=0,T X,0=TS 6.42
Cuando y ∞ ux,∞=u∞ , T X,∞=T∞

Cuando se supone que las propiedades del fluido son constantes y, por consiguiente, independientes de latemperatura, las dos primeras ecuaciones se pueden resolver por separado para las componentes u y v de la velocidad. Una vez que se dispone de la distribución de velocidad, se puede determinar el coeficiente de fricción y el espesor de la capa límite mediante sus definiciones. Asimismo, al conocer u y v, la temperatura se convierte en la única incógnita en la última ecuación y se puede resolver para ladistribución de temperatura.
El ingeniero alemán H. Blasius, discípulo de L. Prandtl, resolvió, por primera vez, en 1908, las ecuaciones de continuidad y de la cantidad de movimiento. Esto se llevó a cabo por la transformación de las dos ecuaciones diferenciales parciales en una sola ecuación diferencial ordinaria al introducir una nueva variable independiente, llamada variable de semejanza.El hallazgo de una variable de ese tipo, si es que existe, tiene más de arte que de ciencia y requiere que se cuente con una buena percepción del problema.

Al notar que la forma general del perfil de velocidades permanece igual a lo largo de la placa, Blasius razonó que el perfil no dimensional de velocidades uu∞ debe permanecer inalterado cuando se traza su gráfica contra la distancia nodimensional y⁄δ, donde δ es el espesor de la capa límite local de la velocidad, en una x dada. Es decir, aun cuando δ y u en una y dada varían con x, la velocidad u en una y/ δ fija permanece constante. Blasius también estaba consciente, por el trabajo de Stokes, de que δ es proporcional a v.xu∞ , y, de esta manera, definió una variable adimensional de semejanza como
η=y.u∞v.x6.43
Y de este modo, uu∞= función (η). Entonces introdujo una función de corriente ψx,y como

u=∂ψ∂y y v=∂ψ∂x 6.44
De modo que la función de continuidad ecuación 63a se satisface de manera automática y, en consecuencia, se elimina (esto se puede verificar con facilidad por sustitución directa). A continuación como la variable dependiente definió unafunción f(η)
fη=ψu∞.v.xu∞ 6.45
Entonces las componentes de velocidades quedan

u=∂ψ∂y=∂ψ∂η.∂η∂y=u∞vxu∞.dfdη.u∞vx=u∞.dfdη 6.46

v=-∂ψ∂y=-u∞vxu∞.∂f∂x-u∞2.vu∞.x.f=12.u∞.vxηdfdη-f 6.47
Al derivar estas relaciones para u y v, se puede demostrar que las derivadas de las componentes de las velocidad son

∂u∂x=-u∞2.η.d2fdη2 , ∂u∂y=u∞u∞v.x.d2fdη2 ,...