Convexos

XXXIII Semana de la Matem´tica
a
Instituto de Matem´ticas
a
Pontificie Universidad Cat´lica de Valpara´
o
ıso

Introducci´n al
o
An´lisis Convexo
a

Pedro Gajardo
Centro de Modelamiento Matem´tico
a
Universidad de Chile UMI 2807 CNRS
http://www.dim.uchile.cl/~pgajardo/

2006

Dado que la forma del Universo entero es la m´s perfecta y, de hecho, la m´s saa
a
biamente creada, absolutamente nada enel mundo ocurrir´a sin que una minimizac´on o
ı
ı
maximizaci´n est´ actuando.
o
e

Leonhard Euler (1744)

´
Indice general

1. Presentaci´n
o

1

1.1. Conjuntos convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Fundamentos de An´lisis Convexo
a

2
5

2.1. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2. Conjuda de Fenchel . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Subdiferencial convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Dualidad v´ perturbaciones
ıa

19

3.1. Problemas perturbados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Teoremas de dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. Aplicaciones

25

4.1. Programaci´nlineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
o
4.2. Problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

iv

CAP´
ITULO 1
Presentaci´n
o

El presente documento ha sido elaborado con el objetivo de ser un apoyo a las charlas
realizadas en la XXXIII Semana de la Matem´tica. El tema abordado es el An´lisis
a
a
Convexo, teor´ que permiteestudiar de manera unificada problemas de optimizaci´n y
ıa
o
c´lculo de variaciones en el contexto convexo. En estas p´ginas se podr´n encontrar los
a
a
a
primeros conceptos, resultados y ejemplos relacionados con esta disciplina, en particular,
lo que concierne a la Dualidad en optimizaci´n convexa. La mayor parte de los contenidos
o
de este apunte son presentados de manera similar (orden ydemostraciones) al curso
An´lisis Convexo y Dualidad dictado el a˜o 1999 por el profesor Roberto Cominetti en
a
n
la Facultad de Ingenier´ de la Universidad de Chile. Otros resultados y demostraciones
ıa
han sido obtenidos principalmente del apunte An´lisis Convexo y Dualidad del Profesor
a
Felipe Alvarez [1] quien dicta regularmente el curso de mismo nombre en la Facultad de
Ingenier´ de la Universidad deChile, y del libro, recientemente publicado, Variational
ıa
Analysis in Sobolev and BV spaces de los autores Heddy Attouch, Giuseppe Buttazzo
y G´rard Michaille [2]. Como bibliograf´ complementaria se recomienda el fundacional
e
ıa
texto Convex Analysis de Tyrell Rockafellar [6] asi como el libro Convex analysis and
minimization algorithms de Jean B. Hiriart-Urruty y Claude Lemar´chal [4, 5].
eEste cursillo est´ orientado a estudiantes con un cierto bagaje en an´lisis funcional
a
a
(como referencia ver [3]) aunque en su mayor´ intenta ser autocontenido.
ıa

1

1.1. CONJUNTOS CONVEXOS

1.1 Conjuntos convexos
Durante el curso se trabajar´ en un espacio vectorial normado real (evn) (X, · ) en
a
dualidad con su espacio dual topol´gico X ∗ dotado de la norma usual
o
x∗

∗

:= sup x, x∗

x∗ ∈ X∗

x∈X
x ≤1

donde ·, · denota el producto de dualidad entre X y X ∗ , es decir, para una funci´n lineal
o
∗
∗
∗
continua x ∈ X definida sobre el espacio X a valores en I , se tiene x : X −→ I y
R
R
escribiremos
x, x∗ = x∗ (x)
∀ x ∈ X.
(1.1.1)
Recordemos que la topolog´ m´s peque˜a en X que hace continua a los elementos en X ∗
ıa a
n
es la topolog´a d´bil. Por otro lado, dado x ∈ X se tiene que eloperador evaluaci´n (que
ıe
o
notaremos de igual manera) x : X ∗ −→ I definido por
R
x(x∗ ) = x∗ (x) = x, x∗
es lineal continuo (para la topolog´ inducida por · ∗ en X ∗ ), por lo tanto X ⊂ X ∗∗ . La
ıa
∗
topolog´ m´s peque˜a en X que hace ser continuos a los operadores evaluaci´n (i.e. a
ıa a
n
o
los elementos de X ) es la topolog´ ∗-d´bil.
ıa
e
Si X es un espacio vectorial normado de Banach...