Convexos

XXXIII Semana de la Matem´tica
a
Instituto de Matem´ticas
a
Pontificie Universidad Cat´lica de Valpara´
o
ıso

Introducci´n al
o
An´lisis Convexo
a

Pedro Gajardo
Centro de Modelamiento Matem´tico
aUniversidad de Chile UMI 2807 CNRS
http://www.dim.uchile.cl/~pgajardo/

2006

Dado que la forma del Universo entero es la m´s perfecta y, de hecho, la m´s saa
a
biamente creada, absolutamente nadaen el mundo ocurrir´a sin que una minimizac´on o
ı
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maximizaci´n est´ actuando.
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Leonhard Euler (1744)

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Indice general

1. Presentaci´n
o

1

1.1. Conjuntos convexos . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Fundamentos de An´lisis Convexo
a

2
5

2.1. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2. Conjuda de Fenchel . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Subdiferencial convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Dualidad v´ perturbaciones
ıa

19

3.1.Problemas perturbados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Teoremas de dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. Aplicaciones

25

4.1.Programaci´n lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
o
4.2. Problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

iv

CAP´
ITULO 1
Presentaci´no

El presente documento ha sido elaborado con el objetivo de ser un apoyo a las charlas
realizadas en la XXXIII Semana de la Matem´tica. El tema abordado es el An´lisis
a
a
Convexo, teor´ quepermite estudiar de manera unificada problemas de optimizaci´n y
ıa
o
c´lculo de variaciones en el contexto convexo. En estas p´ginas se podr´n encontrar los
a
a
a
primeros conceptos, resultados y ejemplosrelacionados con esta disciplina, en particular,
lo que concierne a la Dualidad en optimizaci´n convexa. La mayor parte de los contenidos
o
de este apunte son presentados de manera similar (orden y...