convolución

˜
SENALES Y SISTEMAS

1

Laboratotio 1 - Se˜ ales y Sistemas
n
Convoluci´ n
o
Sebasti´ n Decastro Posada, Wendy Niebles Quintero
a
sebastiandecastro@uninorte.educo, nieblesw@uninorte.edu.co

Resumen—El objetivo de nuestro trabajo es analizar e identificar la soluci´ n y el comportamiento de convoluciones continuas
o
en en sistemas lineales e invariantes en el tiempo.
˜
IndexTerms—Senales, sistemas, Matlab , convoluci´ n, contio
nuo, intervalo.

I.

´
I NTRODUCCI ON

P

Ara el procesamiento de se˜ ales es necesario el uso de
n
sistemas los cuales presenten propiedades b´ sicas como
a
lo son la linealidad y la invarianza en el tiempo. En este
trabajo iniciaremos principalmente con un marco te´ rico, el
o
cual presentar´ las definiciones de mayor relevancia enlas
a
cuales se sustenta el tema a tratar. Para esto definiremos las
convoluciones continuas y su comportamiento en los sistemas
lineales e invariantes en el tiempo, las cuales a su vez
juegan un papel muy importante en el an´ lisis de se˜ ales y
a
n
sistemas. Para brindar un mayor entendimiento acerca del tema
realizaremos diversas ejmplificaciones en donde pondremos
en pr´ ctica todoslos conceptos y herramientas necesarias
a
para una adecuada soluci´ n. De manera que analizaremos la
o
convoluci´ n en diversos tipos de se˜ ales continua, las cuales
o
n
ser´ n realizadas de forma manual y a su vez en Matlab. Los
a
resultados gr´ ficos obtenidos ser´ n comparados con el fin de
a
a
visualizar las posibles diferencias y la razon de estas. Se acotar´ n los dominios de cadauna de las funciones manualmente
a
y se llevar´ n a Matlab para finalmente ser comparadas con las
a
gr´ ficas obtenidas anteriormente.
a
II.
II-A.

´
M ARCO T E ORICO

Convoluci´ n
o

Una de las principales razones por la que los sistemas
LTI (Lineales e Invariantes en el tiempo) son accesibles al
an´ lisis es que todos estos sistemas poseen la propiedad de
a
superposici´ n. Comoconsecuencia, si podemos representar la
o
entrada a un sistema LTI en t´ rminos de una combinaci´ n
e
o
lineal de un conjunto de se˜ ales b´ sicas entonces podemos
n
a
utilizar la superposici´ n para calcular la salida del sistema
o
en t´ rminos de sus respuestas a estas se˜ ales b´ cias. Una
e
n
a
de las car´ cteristicas importantes del impulso unitario, tanto
a
discreto comocontinuo, es que las se˜ ales muy generales se
n
pueden representar como la combinaci´ n lineal de impulsos
o
retardados. Este hecho junto con las propiedades de superposici´ n e invarianza en el tiempo nos permiten realizar una
o
caracterizaci´ n completa de cualquier sistema LTI en t´ rminos
o
e
de su respuesta a un impulso unitario. Esta representaci´ n
o
conocida como suma de convoluci´n en el caso discreto,
o

e integral de convoluci´ n en el continuo, proporciona una
o
considerable comodidad anal´tica al tratar con sistemas LTI.
ı
En el caso continuo pensamos en el impulso unitario como
la idealizaci´ n ´de un punto el cual es tan corto que su
o
duraci´ n no tiene consecuencias en un sistema fisico real,
o
podemos desarrollar una representaci´ n para se˜ alescontinuas
o
n
arbitrarias en t´ rminos de estos pulsos idealizados.
e

II-B. Representaci´ n de se˜ ales continuas en t´ rminos de
o
n
e
escalones
Para poder representar las se˜ ales es necesario realizar
n
una aproximaci´ n o pulso de ((escalera)). Esta aproximaci´ n
o
o
se puede expresar como una combinaci´ n lineal de pulson
o
retrasados. Si se define:
1
∆

→0 t ≥ 5

4.

y(t)= 11 − t − te−t + e−t − 2e5 e−t
t ≥ 10
y(t) = −te−t + e−t − 2e5−t + e10−t

h(t) = e2t u(1 − t)

12

14

16

˜
SENALES Y SISTEMAS

5

h(t)

y(t)

8

4

7

3

6

2

5

1

4

0

3

−1

2

−2

1
0
−1

−3
0

1

2

3

4

5

6

7

−4
−10

−5

0

5

10

15

En la siguiente gr´ fica encontramos la comparaci´ n
a
o...