Coordenadas

1. Coordenadas cartesianas

Son un sistema de coordenadas formado por un eje en la recta, por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abscisa y ordenada.

Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y = 0 y x = 0, rectas que se cortan enel origen 0 cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina también abscisa al eje x y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo; así por ejemplo en el premier cuadrante, abscisa (+) y ordenada (+); en el segundo cuadrante abscisa (-) y ordenada (+); tercer cuadrante abscisa (-) y ordenada (-)y, el cuarto cuadrante abscisa (+) y ordenada (-), como se observa en la figura 1.

Fig. 1. Representación del plano cartesiano con sus cuadrantes

En un eje de tres planos, consta de ejes, x, y y z. como muestra la figura 2.
 
[pic]
Fig. 2. Planos cartesiano de tres ejes yz, xz y yz.
Cualquier punto graficado, estará integrado por los tres ejes, en la figura 3 se observa un punto en lascoordenadas (x, y, z).
[pic]
Fig. 3. Graficación de un punto, coordenadas (x, y, z).

1. Vector unitario
Los vectores unitarios son la magnitud del eje correspondiente dividido entre su magnitud. En la figura 4, se observa los vectores unitarios ax, ay y az, en cada eje.
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Fig. 5. Vectores unitarios del `punto A.
donde la magnitud de A es [pic]
por lo tanto
[pic]2. Vector posición y distancia
La figura 6, representa un punto P por (x, y, z). Eel vector rP es el vector posición del punto P, se define como la distancia dirigida del origen O al punto P.
[pic]
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Fig. 6. Ilustración de un vector posición y su distancia.
Si se tienen dos puntos, sean P(xP, yP, zP) y Q(xQ, yQ, zQ) el vector de distancia o vector de separación, es el desplazamiento de P aQ, es decir
[pic]
Ejemplo:
Graficar los puntos P(1, 2, 3) y Q(2, -2, 1). Obtenga la distancia de:
a) P al origen;
b) Q al origen;
c) el vector distancia de P a Q;
d) la distancia entre P y Q.
[pic]
a) P(1, 2, 3) b) Q(2, -2, 1)
[pic] [pic]
c) [pic]
d) [pic]

1.2. Coordenadas cilíndricas
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy utilizado en problemas quetienen simetría geométrica. Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por [pic], donde los intervalos de las variables son
[pic]

Ahora construyamos un cilindro circular a lo largo del eje z, como se muestra en la figura 7. Observe que el punto P, tiene vectores unitarios en las direcciones [pic]. Sea ( la distancia del origen al punto (x,y,z)  y ( el ángulo formado entre el eje x  y  laproyección del punto P a lo largo del eje z.

La figura 8a nos muestra el plano xy donde la proyección de la circunferencia, con sus coordenadas cartesianas, con el teorema del triángulo podemos se obtienen las coordenadas cilíndricas.

Las ecuaciones cilíndricas de la figura 9, son
[pic] [pic]

Por lo tanto las coordenadas cilíndricas del punto P las podemos escribir por ((, (, z),donde z, es la altura de la circunferencia y se mantiene igual, debido a que el eje z no interviene en las ecuaciones obtenidas del plano xy.
Los intervalos de las variables son P((, (, z)
[pic]
La transformación de las coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas se obtienen de la misma figura 9. Quedando
[pic]
Entonces la conversión de una a otra en su representación
P(x, y, z) ( P((,(, z)

Ejemplo:
Transformar las siguientes coordenadas cartesianas a cilíndricas.
a) A(5, –3, 4)
b) B(2, 6, 4)
c) C(–2, 7, 6)
Solución:
a) [pic]
A(5, –3, 4) ( A(5.83, –30.96º, 4)
b) [pic]
B(2, 6, 4) ( B(6.32, 71.56º, 4)
c) [pic]
C(–2, 7, 6) ( C(7.28, –74.05º, 6)

1.3. Coordenadas esféricas
El sistema de coordenadas esféricas se representa en un punto P como (r, (,...